2020届二轮复习空间点、线、面的位置关系课时作业（全国通用） 练习
展开第2讲 空间点、线、面的位置关系
一、选择题
1．(2019·合肥市第一次质量检测)平面α外有两条直线a，b，它们在平面α内的投影分别是直线m，n，则下列命题正确的是( )
A．若a⊥b，则m⊥n
B．若m⊥n，则a⊥b
C．若m∥n，则a∥b
D．若m与n相交，则a与b相交或异面
解析：选D．对于选项A，当直线a，b相交，且所在平面与平面α垂直时，直线m，n重合，故A不正确；对于选项B，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，AD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，AD，记为m，n，此时m⊥n，但a与b不垂直，故B不正确；对于选项C，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，CD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，CD，记为m，n，此时m∥n，但a与b不平行，故C不正确；对于选项D，若m与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故D正确，选D．
2．(2019·江西七校第一次联考)已知直线m，n，平面α，β，命题p：若α∥β，m∥α，则m∥β；命题q：若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n.下列是真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(﹁q)
C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧q
解析：选D．对于命题p，若α∥β，m∥α，则还需m⊄β才能推出m∥β，所以命题p为假命题，命题﹁p为真命题；对于命题q，若m∥α，m∥β，α∩β＝n，由线面平行的性质可推出m∥n，所以命题q为真命题，命题﹁q为假命题，所以(﹁p)∧q为真命题，故选D．
3.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
解析：选C．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C．
4．(2019·长春市质量监测(一))在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为( )
A．1 B．
C． D．
解析：选D．由题意画出图形如图所示，取AD1的中点为O，连接OC1，OA1，易知OA1⊥平面ABC1D1，所以∠A1C1O是直线A1C1与平面ABC1D1所成的角，在Rt△OA1C1中，A1C1＝2OA1，所以sin∠A1C1O＝＝.故选D．
5．(2019·江西省五校协作体试题)如图，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝，则直线AD与BC所成的角为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．如图，过点O作OE⊥AB交底面圆于E，分别以OE，OB，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为∠AOD＝π，所以∠BOD＝，则D(，1，0)，A(0，－2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，＝(，3，0)，＝(0，－2，2)，所以cos〈，〉＝＝－，则直线AD与BC所成的角为，故选B．
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B．如图，设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，
因为D1E⊂平面ABD1，
所以平面ABD1⊥平面ABC.
因为D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，
所以BC⊥平面ABD1，
又BC⊂平面BCD1，
所以平面BCD1⊥平面ABD1，
因为BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，
所以BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，
所以AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，
所以平面ACD1⊥平面BCD1.
所以共有3对平面互相垂直．故选B．
二、填空题
7．(2019·沈阳市质量监测(一))如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥平面CB1D1；
③异面直线AC与A1B成60°角；
④AC1与底面ABCD所成角的正切值是.
解析：对于①，BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，①正确；对于②，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1，连接A1C1，又A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，所以AC1⊥平面CB1D1，②正确；对于③，易知AC∥A1C1，异面直线AC与A1B所成角为∠BA1C1，连接BC1，又△A1C1B为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，异面直线AC与A1B成60°角，③正确；对于④，AC1与底面ABCD所成角的正切值是＝＝≠，故④不正确．故正确的结论为①②③.
答案：①②③
8．(2019·武汉市调研测试)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点A关于平面BDC1的对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为________．
解析：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，正方体的棱长为1，在正方体ABCDA1B1C1D1下面补一个棱长为1的正方体ABCDA2B2C2D2，连接A2C2，B2D2，AC2，设B2D2∩A2C2＝E，连接CE交AC2于M(即A关于平面BDC1的对称点)，易得M，所以点M到平面A1B1C1D1的距离为1－＝.
法二：依题意，点M在平面ACC1A1上，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知得A，C1，直线OC1的方程为y＝x，其斜率为，
因为点A关于直线OC1的对称点为M，设M(a，b)，
所以，解得，
所以点M到直线A1C1的距离为1－＝，
所以点A关于平面BDC1的对称点M到平面A1B1C1D1的距离为.
答案：
9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2.过点A1作平面α与AB，AD分别交于M，N两点，若AA1与平面α所成的角为45°，则截面A1MN面积的最小值是________．
解析：如图，过点A作AE⊥MN，连接A1E，因为A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥MN，所以MN⊥平面A1AE，所以A1E⊥MN，平面A1AE⊥平面A1MN，所以∠AA1E为AA1与平面A1MN所成的角，所以∠AA1E＝45°，在Rt△A1AE中，因为AA1＝2，所以AE＝2，A1E＝2，在Rt△MAN中，由射影定理得ME·EN＝AE2＝4，由基本不等式得MN＝ME＋EN≥2＝4，当且仅当ME＝EN，即E为MN的中点时等号成立，所以截面A1MN面积的最小值为×4×2＝4.
答案：4
三、解答题
10.如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD、BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC⊂平面BCD且BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.
又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.
11.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.
因为F为CD的中点，
所以GF∥DE且GF＝DE.
因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE，
所以GF∥AB.
又因为AB＝DE，所以GF＝AB.
所以四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
因为AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)因为△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
所以AF⊥CD.
因为DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，
所以DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，
所以AF⊥平面CDE.
因为BG∥AF，所以BG⊥平面CDE.
又因为BG⊂平面BCE，
所以平面BCE⊥平面CDE.
12．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
(1)求证：AB⊥平面ADC；
(2)若AD＝1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．
解：(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
又DC⊥BD，DC⊂平面BCD，
所以DC⊥平面ABD.
因为AB⊂平面ABD，
所以DC⊥AB.
又因为折叠前后均有AD⊥AB，
且DC∩AD＝D，
所以AB⊥平面ADC.
(2)由(1)知DC⊥平面ABD，
所以AC在平面ABD内的正投影为AD，
即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成的角．
依题意知tan ∠CAD＝＝，
因为AD＝1，所以DC＝.
设AB＝x(x＞0)，则BD＝，
易知△ABD∽△DCB，所以＝，
即＝，解得x＝，
故AB＝，BD＝，BC＝3.
由于AB⊥平面ADC，
所以AB⊥AC，又E为BC的中点，所以由平面几何知识得AE＝＝，
同理DE＝＝，
所以S△ADE＝×1× ＝.
因为DC⊥平面ABD，所以VA-BCD＝CD·S△ABD＝.
设点B到平面ADE的距离为d，
则d·S△ADE＝VB-ADE＝VA-BDE＝VA-BCD＝，
所以d＝，即点B到平面ADE的距离为.
