2020届二轮复习 空间点线面的位置关系 教案（全国通用）

2020届二轮复习  空间点线面的位置关系  教案（全国通用）

类型一、异面直线的判定

例1已知空间四边形ABCD.

(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;

(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;

(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.

【证明】(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，

所以A、B、C、D四点共面

这与空间四边形ABCD的定义矛盾

所以对角线AC与BD是异面直线

 (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.

同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.

又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.

(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.

【点评】在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。

举一反三：

【变式】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：

（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。

【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。

（2）是异面直线。证明如下：

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线

【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。

类型二、平面的基本性质及平行公理的应用

例2如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点。

（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？

【解析】（1）

（2）方法一：

方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，，∵BEAF，∴B为MA中点。∵BCAD，∴B为中点，∴M与重合，即FE与DC交于点M（），∴C、D、F、E四点共面。

【点评】（1）G、H为中点GHAD，又BCAD GHBC；（2）方法一：证明D点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，，可证M与 重合，从而FE与DC相交。

举一反三：

【变式】已知，从平面外一点引向量

，

（1）求证：四点共面；（2）平面平面．

【解析】法一：（1）∵四边形是平行四边形，∴，

∵，

∴共面；

（2）∵，又∵，

∴

所以，平面平面．

法二：（1）

∴

∴    同理  又 ∴

∴共面；

（2）由（1）知：，从而可证

同理可证，所以，平面平面．

类型三、异面直线所成的角

例3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。

【答案】取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。

∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。

【解析】要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。

【点评】（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；

（2）求异面直线所成角的步骤：

①作：通过作平行线，得到相交直线；

②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；

③求：通过解三角形，求出该角。

类型四、点共线、线共点、线共面问题

例4．如图，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点．

证明：连结C1B，HE，FG，由题意知HC1平行与EB，∴四边形HC1BE是平行四边形．

∴HE∥C1B.

又C1G＝GC＝CF＝BF，

故GFC1B，

∴GF∥HE，且GF≠HE，

∴HG与EF相交．

设交点为K，

则K∈HG，

HG⊂平面D1C1CD，

∴K∈平面D1C1CD.

∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD.

∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，

∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点。

举一反三：

【高清课堂：空间点线面的位置关系例2】

【变式】如右图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。求证：M、N、K三点共线。

【证明】 因为M∈PQ平面PQR，M∈BC平面BCD，又因为M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上。

同理可证：N、K也在l上，所以M、N、K三点共线。

例5．. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，

求证：(1) E、C、D1、F四点共面；

(2) CE、D1F、DA三线共点．

【证明】(1) 连结A1B 则EF∥A1B  A1B∥D1C

∴EF∥D1C     ∴E、F、D1、C四点共面

(2) 面D1A∩面CA＝DA

∴EF∥D1C  且EF＝D1C

∴D1F与CE相交  又D1F面D1A，CE面AC

∴D1F与CE的交点必在DA上

∴CE、D1F、DA三线共点．

【高清课堂：空间点线面的位置关系例3】

【变式】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，

求证：CE、D1F、DA三线共点

【证明】因为EF//CD1且等于CD1，所以分别连接D1F、CE并延长交于一点P。

因为D1F平面A1D1DA，所以P∈平面A1D1DA

又因为CE平面AC，所以P∈平面ABCD，因为平面A1D1DA∩平面ABCD=AD，

所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线共点。