2020届二轮复习函数奇偶性的应用课时作业（全国通用） 练习
展开2020届二轮复习 函数奇偶性的应用 课时作业（全国通用）
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( C )
(A)y= (B)y=x2+1
(C)y= (D)y=x
解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C.
2.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,则下列关系成立的是( B )
(A)f(-3)>f(0)>f(1) (B)f(-3)>f(1)>f(0)
(C)f(1)>f(0)>f(-3) (D)f(1)>f(-3)>f(0)
解析:因为f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,所以f(-3)>f(1)>f(0).
3.(2019·辽宁六校协作体高一期中)f(x)是定义域为R的奇函数,且x>0时,f(x)=x2-3x+6,f(-2)+f(0)等于( B )
(A)4 (B)-4 (C)10 (D)-10
解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.
又f(-2)=-f(2)=-(4-6+6)=-4.
故f(-2)+f(0)=-4.选B.
4.已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数且为减函数,若f(m-1)+f(1-2m)>0,则实数m的取值范围为( C )
(A)m>0 (B)-1<m<3
(C)0<m< (D)- <m<
解析:因为f(m-1)+f(1-2m)>0.
所以f(m-1)>-f(1-2m)=f(2m-1).
由题意知
所以
所以0<m<.
5.已知f(x)是R上的偶函数,且x≥0时,f(x)=x2+5x+3,则满足f(x)<f(3)的x取值范围是( B )
(A)(-∞,3)∪(3,+∞) (B)(-3,3)
(C)(0,3) (D)(-3,0)
解析:由x≥0时,f(x)=x2+5x+3=(x+)2+3-知,函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,又函数f(x)是偶函数,故f(x)<f(3)可化为f(|x|)<f(3),即|x|<3.解之得-3<x<3.选B.
6.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1,则f(x)等于( D )
(A)x2 (B)2x2
(C)2x2+2 (D)x2+1
解析:因为f(x)+g(x)=x2+3x+1, ①
所以f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.
又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数,
所以f(x)-g(x)=x2-3x+1. ②
由①②联立,得f(x)=x2+1.故选D.
7.若函数y=f(x)+x2是奇函数,且f(2)=5,则f(-2)= .
解析:令g(x)=f(x)+x2,
则g(x)是奇函数.
故g(-x)+g(x)=0.
则f(x)+x2+f(-x)+x2=0.
所以f(-x)=-f(x)-2x2,
所以f(-2)=-f(2)-2×22=-13.
答案:-13
8.(2018·陕西安康市期中)已知f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数.若f(2)=2,则g(-2)= .
解析:因为f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数,
所以
解得g(-2)=f(2)=2.
答案:2
9.函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=
2f(x1)·f(x2),求证:f(x)为偶函数.
证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x). ①
令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x). ②
由①②得f(x)-f(-x)=0.即f(x)=f(-x).
所以函数f(x)为偶函数.
能力提升
10.已知a<b<0,奇函数f(x)的定义域为[a,-a],在区间[-b,-a]上单调递减且f(x)>0,则在区间[a,b]上( D )
(A)f(x)>0且|f(x)|单调递减
(B)f(x)>0且|f(x)|单调递增
(C)f(x)<0且|f(x)|单调递减
(D)f(x)<0且|f(x)|单调递增
解析:因为f(x)是奇函数,
所以其图象关于原点对称.
又f(x)在[-b,-a]上单调递减且f(x)>0,
所以f(x)在[a,b]上单调递减,且f(x)<0.
因为y=|f(x)|与y=f(x)的图象关于x轴对称,
所以y=|f(x)|在[a,b]上单调递增.
11.若y=f(x)(x∈R)是奇函数且是减函数,则F(x)=f(f(x))在R上是( B )
(A)减函数、奇函数 (B)增函数、奇函数
(C)减函数、偶函数 (D)增函数、偶函数
解析:因为F(-x)=f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x))=-F(x),
所以F(x)是奇函数.
设x1<x2,则f(x1)>f(x2),
又由f(x)是减函数知,f(f(x1))<f(f(x2)),
即F(x1)<F(x2),所以函数F(x)是增函数.
12.奇函数f(x)满足:①f(x)在(0,+∞)内单调递增;
②f(1)=0.则不等式x·f(x)>0的解集为 .
解析:法一 因为f(x)在(0,+∞)上是增函数且是奇函数,f(1)=0,
所以f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(-1)=0.
当x>0时,f(x)>0,即f(x)>f(1),所以x>1.
当x<0时,f(x)<0,即f(x)<f(-1),所以x<-1,
所以xf(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
法二 依题意作出函数y=f(x)的大致图象如图所示.由图象易知,
xf(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
13.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x+x2.
(1)当x>0时,求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=2m+1有三个不相等的实根,求m的取值
范围.
解:(1)当x>0时,-x<0,
所以f(-x)=-2x+x2,
又f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=2x-x2.
所以当x>0时,f(x)=2x-x2.
(2)f(x)=
作出f(x)的函数图象如图所示:
因为关于x的方程f(x)=2m+1有三个不相等的实根,
所以-1<2m+1<1,
解得-1<m<0.
所以m的取值范围为(-1,0).
探究创新
14.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是( D )
(A)f(1)<f()<f()
(B)f()<f(1)<f()
(C)f()<f()<f(1)
(D)f()<f(1)<f()
解析:函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,
所以函数y=f(x+2)在(-2,0)上是增函数,
又函数y=f(x+2)为偶函数,
所以函数y=f(x+2)在(0,2)上是减函数,
即函数y=f(x)在(2,4)上为减函数;
则函数y=f(x)的图象如图所示,
由图知f(2)>f()>f(1)>f()成立.故选D.
