2020届二轮复习函数的奇偶性单调性周期性综合课时作业（全国通用） 练习
展开第二讲 函数的奇偶性单调性周期性综合
A组
一、选择题
1．（2018年全国卷Ⅱ理）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
【解析】是定义域为的奇函数，且
2．(2017年高考全国1卷理)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.
3．已知函数的定义域为,当时,, 当时,, 当时,, 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，故选A.
4．定义在上的函数满足．当时，，当时，，则的值为（ ）
A.336 B.337 C.1676 D.2017
【答案】B
【解析】
函数的周期,所以，，，，，即，，所以，故选B.
5．已知是定义在R上周期为2的奇函数，当时，， 则（ ）
A．1 B．-1
C． D．
【答案】B
【解析】
是定义在上的周期为的奇函数，所以，故选B.
6．已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
【答案】A
【解析】
作图如下，由图可得函数的图象与函数的图象的交点共有，故选A.
7．已知函数的定义域为.当时， ；当 时，；当时， ，则=（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【解析】
因为当时，，所以当时，函数是周期为1的周期函数，所以，又因为当时，，所以，故选D．
8．已知定义在上的函数满足，，则（ )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.
9．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为，所以，的周期为，因此 ，故选A．
10．定义在上的函数满足时，，则的值为（ ）
A.-2 B.0 C.2 D.8
【答案】A
【解析】
由已知可得的周期
，故选A.
11．已知函数的定义域为,当时,, 当时,, 当时,, 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
当时,,所以选A.
12．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A．-12 B．-16 C．-20 D．0
【答案】A
【解析】
，，又，所以.
13．已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
因为，则，所以函数的周期为．，，则，又函数为奇函数且，所以，，所以，选B．
二、填空题
14．已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。
【答案】1
【解析】 在条件中，令，得，
，又令， 得，
15．定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【解析】
由，因此函数图象关于直线对称，又是奇函数，因此它也是周期函数，且，∵，∴，∴，即，解得.
16．已知是定义在R上的函数，且满足：，，则的值为 ；
【答案】2018
【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，
于是，
所以，故是以8为周期的周期函数，
从而；
17．对于函数,给出下列命题：① 在同一直角坐标系中, 函数与的图象关于直线对称；
②若,则函数的图象关于直线对称；
③若,则函数是周期函数；
④若,则函数的图象关于对称.
其中所有正确命题的序号是 ．
【答案】③④
【解析】
很明显①不满足题意；②不满足题意；③由可得知周期为的周期函数；④由得可知函数是奇函数，则图象关于对称，符合题意．故③④正确．
18．有下列4个命题:
①若函数定义域为R,则是奇函数;
②若函数是定义在R上的奇函数,,,则图像关于对称;
③已知和是函数定义域内的两个值,若,则在定义域内单调递减;
④若是定义在R上的奇函数, 也是奇函数,则是以4为周期的周期函数．
其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）．
【答案】①④
【解析】
①所以函数是是奇函数，②若图像关于对称则应有，由可得所以不一定成立，③值的取法应该是任意的，④因为是定义在R上的奇函数, 也是奇函数,
所以由可得，将代入可得即，所以是以4为周期的周期函数；故填①④．
三、解答题
19．已知函数．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，当时，求函数的解析式．
【解析】
（1）由得，
由，得，
因为，所以，
解得，由，得．
所以实数的取值范围是．
（2）依题意得，当时，，因此.
B组
一、选择题
1．已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
的图象关于点对称，则关于原点对称. 当时恒有即函数的周期为.所以.
2．已知定义在上的函数的图像关于轴对称，且满足，若当时，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】
定义在上的函数的图像关于轴对称，所以函数该函数是偶函数，满足函数满足，所以该函数的周期是2，，，的若当时，则,故选D．
3．已知函数是定义在上的偶函数，若对任意，都有，且当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A.函数的最小正周期为
B.
C.
D.函数在区间上单调递减
【答案】B
【解析】
因为函数是定义在上的偶函数， 所以，可得函数的最小正周期为，A正确；，C正确；而，B错；故选B.
4．函数对于任意实数满足条件，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意得,，则，那么故选D．
5．若是R上周期为5的奇函数，且满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，得，则；故选A．
6．已知定义在实数集上的函数满足：① ；②；③当时，，则、、满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由可得,即函数是周期为的周期函数且函数在区间上是单调递增,由题设可得,故应选D．
7．函数的定义域为，以下命题正确的是（ ）
①同一坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称；
②函数的图象既关于点成中心对称，对于任意，又有，则的图象关于直线对称；
③函数对于任意，满足关系式，则函数是奇函数.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】
【解析】
①正确，因为函数与关于轴对称，而和都是与向右平移1个单位得到的，所以关于直线对称；②正确，因为函数关于点成中心对称，所以，而，所以，即，又根据，可得函数的周期,又有，所以，所以函数关于直线对称；③正确，因为，所以函数关于点对称，而函数是函数向左平移3个单位得到，所以函数是奇函数.故3个命题都正确，故选D.
8．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下面给出的命题中错误的是（ ）
A．函数是周期函数，且周期T=3 B．函数在上有可能是单调函数
C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数
【答案】B
【解析】
对于A：∵∴函数是周期函数且其周期为3，A对；对于B：由D得：∵偶函数的图象关于轴对称，∴在R上不是单调函数，B不对．对于C：∵是奇函数∴其图象关于原点对称，又∵函数的图象是由向左平移个单位长度得到，∴函数的图象关于点对称，故C对；对于D：由C知，对于任意的，都有，用换，可得：，∴对于任意的都成立，令，则，∴函数是偶函数，D对．故选：B．
9．定义在实数集上的函数满足，.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是（ ）
A．②③ B. ①② C．①③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
由可得，用代替可得，联立可得，所以是以为最小正周期的函数，所以是它的一个周期；在中用代替可得，所以其图象关于直线对称；
10．已知函数对任意都有，的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0 B．-16 C．-8 D．-4
【答案】D
【解析】
因为的图象关于点对称，所以函数的图像关于点对称，即函数是奇函数，令，得，
即，解得，
即，等价于，所以函数的周期,那么，故选D.
二、填空题
11.已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。
【答案】
【解析】分析：且，
又时，是增函数，是偶函数，
，故
12．已知，有下列4个命题：
①若，则的图象关于直线对称；
②与的图象关于直线对称；
③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.
其中正确的命题为 .（填序号）
【答案】①②③④
【解析】
利用奇偶函数的定义和性质，得与的关系，再利用函数图象关于直线对称的条件可以探讨各命题是否正确．因为，令，所以函数的图象自身关于直线对称,①对.因为的图象向右平移个单位，可得的图象，将的图象关于轴对称得的图象，然后将其图象向右平移个单位得的图象，所以的图象关于直线对称,②对．因为，所以，因为为偶函数，，所以，所以的图象自身关于直线对称,③对．因为为奇函数，且，所以，故的图象自身关于直线对称,④对．
13．设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是____________．
【答案】
【解析】
因为所以的周期
三、解答题
14．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算．
【解析】
（1），，是周期为的周期函数．
（2）当时，，由已知得．
又是奇函数，，，
又当时，，，
又是周期为的周期函数，
，
从而求得时，．
（3），又是周期为的周期函数，
又，
．
C组
一、选择题
1．定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为定义在上的偶函数在上为增函数，所以在上单调递减，又，所以，又，所以．
2．定义在上的函数满足下列三个条件： ①； ②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
先由，得函数周期为6，得到；再利用的图象关于轴对称得到的图象关于轴对称，进而得到；最后利用条件（2）得出
因为，
所以；
即函数周期为6，故；
又因为的图象关于y轴对称，
所以的图象关于x=3对称，
所以；
又对任意，都有；
所以．
故选D．
3．定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
∴，则
∴是周期为3的周期函数．
则，
,
∵函数的图象关于点成中心对称，
∴，
∵,
∴，
∴．
故选：B．
4．已知定义在上的函数的图象关于点对称, 且满足,又,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由得，又，
，，的图象关于点对称，所以
，由可得
，故选D.
5．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．
6．定义在上的函数对任意都有，且函数的图像关于原点对称，若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
不妨取的解集为，故选C.
7．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为．其中正确的是（ ）
A．①，② B．②，③ C．①，④ D．①，②，③，④
【答案】C
【解析】
由当时，有知当时有正周期，又为定义在上的偶函数，且当时，，所以，所以①正确，排除B；若函数在定义域上是周期为的函数，则，同时因为当时，有，所以，显然矛盾，所以②错误，这样就排除A,D；综上故选C.
8．函数是定义在上周期为的奇函数, 若,则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，故选B.
二、填空题
9．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，已知当时，，有以下结论：
①2是函数的一个周期；
②函数在上单调递减，在上单调递增；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④当时，．
其中，正确结论的序号是 ．（请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
,当时，单调递增；根据函数是定义在上的偶函数得当时，单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，所以函数的最大值是1，最小值是；当时，；综上正确结论的序号是①②④
10．已知是定义在实数集上的函数，且,则 ．
【答案】
【解析】
，
．
三、解答题
11．已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且函数在上为减函数．
（1）证明：当时，；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】
（1）∵定义在上的函数的图象关于原点对称，∴为奇函数．
函数在上为减函数.
若，则，∴，
∴，∴成立．
若，则，∴．
∴，∴成立．
综上，对任意，当时，有恒成立
（2）依题意可知，得，
解得，故所求实数的取值范围是.
