2020届二轮复习函数模型及其应用课时作业（全国通用） 练习

第9节 函数模型及其应用

课时作业

基础对点练(时间：30分钟)

1．小韩骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后来为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

答案：C

2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)

(A)13万件　　　　　　　 (B)11万件

(C)9万件   (D)7万件

C　解析：由题意，y′＝－x2＋81.令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．

当0＜x＜9时，y′＞0；

当x＞9时，y′＜0.

所以当x＝9时，y取最大值，故选C.

3．某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到(　　)

(A)200只   (B)300只

(C)400只   (D)500只

答案：A

4．(2018福建模拟)某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(　　)

(A)4   (B)5.5

(C)8.5   (D)10

C　解析：由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.

5.

在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)

(A)[15,20]   (B)[12,25] 

(C)[10,30]   (D)[20,30]

C　

解析：如图所示，过A作AG⊥BC于G，交DE于F，则＝，＝＝，又＝，

所以＝，AF＝x，FG＝40－x，

阴影部分的面积S＝x(40－x)≥300，

解得10≤x≤30.故选C.

6.

如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12)，4 m，不考虑树的粗细，现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是(　　)

C　解析：设CD＝x，则S＝x(16－x)(4<x<16－a)，

u＝Smax＝f(a)＝

7．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同，已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(　　)

(A)甲食堂的营业额较高

(B)乙食堂的营业额较高

(C)甲、乙两食堂的营业额相同

(D)不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

A　解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝.因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．故选A.

8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

答案：9

9．(2019湛江一中模拟)铁道机车运行1 h所需的成本由两部分组成：固定部分m元，变动部分(元)与运行速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500 km，则机车从甲站运行到乙站的总成本y(元)与机车运行速度x之间的函数关系为________．

解析：1 h的成本为(m＋kx2)，从甲站到乙站需运行h，y＝(m＋kx2)＝500.

答案：y＝500

10．(2019洛阳质检)如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.

(1)求x的取值范围(运算中取1.4)；

(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

解：(1)由题意得

解得即9≤x≤15.

(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得

y＝a×π×2＋ax×πx2＋×

＝，

令f(x)＝－x4＋x3－12x2，则f′(x)＝－x3＋4x2－24x＝－4x(x2－x＋6)，

由f′(x)＝0，解得x＝10或x＝15，

列表如下：

所以当x＝10时，y取最小值．

所以当x＝10时，可使“环岛”的整体造价最低．

能力提升练(时间：15分钟)

11．(2019河北唐山月考)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　)

(A)上午10：00   (B)中午12：00

(C)下午4：00   (D)下午6：00

C　解析：当x∈[0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.

当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b，把(4,320)，(20,0)代入得解得

∴y＝400－20x.

∴y＝f(x)＝

由y≥240，得或

∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.

12.

(2018贵州省适应性考试) 某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是(　　)

A　解析：若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D，故选A.

13．(2019广西模拟)某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h(车身长度不计)．

解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶 km所用的时间，因此t＝≥12，当且仅当＝，即v＝时取“＝”．故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.

答案：12

14.

如图，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上)．若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC＋1，且∠ABC＝60°.

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？

解：(1)由题意，BC＝2x，又AB＝y，AC＝y－1，

在△ABC中，由余弦定理得，(y－1)2＝y2＋4x2－2y·2x·cos 60°，所以y＝.由2x＋y－1＞y得x＞.

∵y＞0且x＞，

∴x＞1.

∴y＝(x＞1)．

(2)M＝30(2y－1)＋40x＝－30＋40x，其中x＞1，

设t＝x－1，则t＞0，

所以M＝－30＋40(t＋1)＝160t＋＋250≥2＋250＝490，

当且仅当t＝时等号成立，此时x＝.

所以当x＝时，修建中转站和道路的总造价M最低．

15．某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．

(1)分别写出国外市场的日销售量f(x)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；

(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．

解：(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得

f(t)＝

图②是一个二次函数的部分图像，

故g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．

(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)＝

故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为

F(t)＝

当0≤t≤20时，F(t)＝3t＝－t3＋24t2，

∴F′(t)＝－t2＋48t＝t≥0，

∴F(t)在[0,20]上是增函数，

∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝6 000＜6 300.

当20＜t≤30时，F(t)＝60.

由F(t)＝6 300，得3t2－160t＋2 100＝0，

解得t＝(舍去)或t＝30.

当30＜t≤40时，F(t)＝60.

由F(t)在(30,40]上是减函数，得F(t)＜F(30)＝6 300.

故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．