2020届二轮复习 函数的应用 课时作业（全国通用） 练习

2020届二轮复习   函数的应用   课时作业（全国通用）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.函数f(x)=ln(2x)-1的零点所在区间是(　D　)

(A)(2,3) (B)(3,4)

(C)(0,1) (D)(1,2)

解析:因为ln(2x)-1=0,

所以ln (2x)=1.

所以x=,

所以∈(1,2).选D.

2.已知函数f(x)=x3+2x-8的零点用二分法计算,附近的函数值参考数据如表所示:

则方程x3+2x-8=0的近似解可取为(精确度0.1)(　B　)

(A)1.50 (B)1.66 (C)1.70 (D)1.75

解析:由表格可得,函数f(x)=x3+2x-8的零点在(1.625,1.687 5)之间;结合选项可知,方程x3+2x-8=0的近似解可取为1.66(精确度为0.1).故选B.

3.若f(x)=,则函数y=f(4x)-x的零点是(　A　)

(A) (B)- (C)2 (D)-2

解析:函数y=f(4x)-x的零点就是方程f(4x)-x=0的根,解方程f(4x)-x=0,即-x=0,得x=,故选A.

4.在用二分法求方程log2x=x的一个近似解时,现在已经将一根锁定在(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为(　C　)

(A)(1.4,2) (B)(1,1.4)

(C)(1,1.5) (D)(1.5,2)

解析:令f(x)=log2x-x,则f(1)=- <0,f(2)=1-=>0,f(1.5)=log2>0,由f(1)·f(1.5)<0知根所在区间为(1,1.5).故选C.

5.已知函数f(x)=log3x+x-5的零点x0∈(a,a+1),则整数a的值为(　C　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:函数的定义域为(0,+∞),易知函数在(0,+∞)上单调递增,

因为f(4)=log34+4-5>0,f(3)=log33+3-5<0,

所以函数f(x)=log3x+x-5的零点一定在区间(3,4)内,所以a=3.故

选C.

6.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(a,b为常数).已知该工人组装第4件产品用时15分钟,组装第b件产品用时10分钟,那么a和b的值分别是(　B　)

(A)40,9 (B)30,9

(C)40,16 (D)30,16

解析:x=b时,=10,x=4时,=15,解得a=30,b=9,故选B.

7.函数f(x)=x2-+1的零点个数为(　B　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:令f(x)=0得x2-+1=0,所以x2+1=,再作出函数y=x2+1与y=的图象,

由于两个函数的图象只有一个交点,所以零点的个数为1.故选B.

8.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则(　A　)

(A)a>b (B)a<b

(C)a=b (D)无法判断

解析:因为b=a(1+10%)(1-10%)=a(1-).

所以b=a×,所以a>b.

9.随着我国经济的不断发展,2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元,预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长,那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(　B　)

(A)3 000×1.06×7元 (B)3 000×1.067元

(C)3 000×1.06×8元 (D)3 000×1.068元

解析:根据题意,逐年归纳,总结规律建立关于年份的指数型函数模型,设经过x年,该地区的农民人均年收入为y元,依题意有y=3 000× 1.06x,因为2014年年底到2021年年底经过了7年,故把x=7代入,即可求得y=3 000×1.067.故选B.

10.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:时)之间的函数关系式为:P=P0e-kt(k,P0均为正的常数).若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么,至少还需要过滤的时间为(　C　)

(A)小时 (B)小时

(C)5小时 (D)10小时

解析:由题意知前5个小时消除了90%的污染物,

因为P=P0e-kt,

所以(1-90%)P0=P0e-5k,

所以0.1=e-5k,即-5k=ln 0.1,

所以k=-ln 0.1.

由1%P0=P0e-kt,即0.01=e-kt,

所以-kt=ln 0.01,

所以(ln 0.1)t=ln 0.01,

所以t=10,

所以至少还需要过滤5小时才可以排放.故选C.

11.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m恰有一个零点,则实数m的取值范围是(　D　)

(A)[0,1] (B)(-∞,0)∪(1,+∞)

(C)(-∞,0]∪(1,+∞) (D)(-∞,0)∪[1,+∞)

解析:令g(x)=0得f(x)=m,作出y=f(x)的函数图象如图所示,

由图象可知当m<0或m≥1时,f(x)=m只有一解.故选D.

12.已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是(　C　)

(A) (B)

(C)- (D)-

解析:因为函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,

所以方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一个实数根.

又函数f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(-x)=-f(x),

所以f(2x2+1)+f(λ-x)=0⇔f(2x2+1)=-f(λ-x)⇔f(2x2+1)=f(x-λ)⇔2x2+1=x-λ,

所以方程2x2-x+1+λ=0只有一个实数根,

所以Δ=(-1)2-4×2×(1+λ)=0,解得λ=-.

故选C.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬,鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时,其飞行速度为v=10 m/s,则两岁燕子飞行速度为25 m/s时,耗氧量达到　　　　个单位. 

解析:由题,令x=40,v=10,

得10=alog24,所以a=5.

v=25 m/s时,25=5log2,

解得x=320.

答案:320

14.用长度为24 m的材料围成一矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为　　　　. 

解析:设隔墙的长为x m,矩形面积为S m2,则

S=x·=x·(12-2x)

=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,

所以当x=3时,S有最大值为18.

答案:3 m

15.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=　　　　. 

解析:因为2<a<3<b<4,

所以f(2)=loga2+2-b<1+2-b=3-b<0,

f(3)=loga3+3-b>1+3-b=4-b>0,

即f(2)·f(3)<0,

易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0,

且x0∈(2,3),

所以n=2.

答案:2

16.已知函数f(x)=其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　. 

解析:当m>0时,函数f(x)=的图象如图.

因为x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2>4m-m2,

所以要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,

必须4m-m2<m(m>0),

即m2>3m(m>0),

解得m>3,

所以m的取值范围是(3,+∞).

答案:(3,+∞)

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)

设函数f(x)=ex-m-x,其中m∈R,当m>1时,判断函数f(x)在区间(0,m)内是否存在零点.

解:f(x)=ex-m-x,所以f(0)=e-m-0=e-m>0,

f(m)=e0-m=1-m.又m>1,所以f(m)<0,

所以f(0)·f(m)<0.

又函数f(x)的图象在区间[0,m]上是一条连续曲线,

故函数f(x)=ex-m-x(m>1)在区间(0,m)内存在零点.

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=

(1)在给定直角坐标系内直接画出f(x)的草图(不用列表描点),并由图象写出函数f(x)的单调减区间;

(2)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.

解:(1)作出f(x)的图象.如图所示,

由图象可知该函数的单调减区间为(-1,1),(2,+∞).

(2)作出直线y=-m,f(x)+m=0有三个不同的零点等价于函数y=-m和函数y=f(x)的图象恰有三个不同的交点.

由y=f(x)的图象可知,-m∈(-1,0)

所以m∈(0,1).

19.(本小题满分12分)

如图,图中所示的是函数f(x)=ax2与 g(x)=b·cx的图象.

(1)设f(x)=x2,g(x)=2x,指出点A,B的坐标;

(2)设点A的坐标是(1,1),点B的纵坐标是4,求f(x)与g(x);

(3)某厂试生产某种产品,试生产期间的投资与试生产期限之间的关系可用(2)中得出的函数来模拟,怎样选择模拟函数?

解:(1)在f(x)=x2中,f(2)=4,f(4)=16;在g(x)=2x中,g(2)=4,g(4)=16.

点A,B的坐标分别是(2,4),(4,16).

(2)把点A的坐标(1,1)代入f(x)=ax2,得a=1,这时 f(x)=x2;再把点B的纵坐标4代入f(x)=x2,得x=2(负值舍去),这时点B的坐标为(2,4).

把点A(1,1),B(2,4)的坐标代入g(x)=b·cx,得解得b=,c=4,

所以g(x)=·4x=22x-2.

综上,得f(x)=x2,g(x)=22x-2.

(3)该厂在试生产期间,投资应该选择较低的,

投资y与试生产期限x的关系有两种,即(2)中得出的两个函数,它

们是

f(x)=x2,g(x)=22x-2.

由(2)可知,点A,B的横坐标x分别为1和2.

模拟函数选择:

期限小于1,选择f(x)=x2;期限大于等于1小于2,选择g(x)=22x-2;期限大于等于2,选择f(x)=x2.

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.

(1)求证:f(x)在区间(1,2)上存在零点;

(2)请用二分法计算f(x)=0的一个正的近似解(精确度0.1).

(1)证明:因为f(x)=2x3-x2-3x+1,

所以f(1)=-1<0,f(2)=7>0,

所以f(1)·f(2)=-7<0.

且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内连续,所以f(x)在区间(1,2)上存在

零点.

(2)解:由(1)知,f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内存在零点,

取(1,2)为初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:

因为f(1.312 5)·f(1.375)<0,且1.375-1.312 5=0.062 5<0.1,所以f(x)=0的一个正的近似解可取为1.375.

21.(本小题满分12分)

设函数y=ax与y=logax(0<a<1)的图象的唯一交点横坐标为x0,当0<x<x0时,

(1)试比较ax与logax的大小,并求出的取值范围;

(2)若5tax>(3t-4)logax恒成立,求t的取值范围.

解:(1)根据y=ax与y=logax的图象(如图)

可知0<x0<1.

当0<x<x0时,0<ax<1,logax>0,且ax<logax.

所以∈(0,1).

(2)5tax>(3t-4)logax可转化为

5t·+(4-3t)>0.

令m=,则5tm+(4-3t)>0.

因为m∈(0,1),

所以

所以-2<t<.

故t的取值范围为(-2,).

22.(本小题满分12分)

通过市场调查,得知某件商品每1枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:

 (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=alogbx;

(2)利用你选取的函数,求该商品市场价最低时的上市天数及最低的价格;

(3)设你选取的函数为f(x),若对任意实数k,方程f(x)=kx+2m+120恒有两个相异的零点,求m的取值范围.

解:(1)因为随着时间x的增加,y的值先减后增,

而所给的三个函数中y=ax+b和y=alogbx显然都是单调函数,不满足题意,

所以y=ax2+bx+c.

(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入方程

得⇒

所以y=x2-10x+126= (x-20)2+26.

所以当x=20时,y有最小值,ymin=26.

因此该商品市场价最低时的上市天数为20天,最低价格为26元.

(3)由(2)知f(x)= x2-10x+126,

又因为f(x)=kx+2m+120恒有两个相异的零点,则x2-(k+10)x+6-2m=0恒有两个相异的零点,所以Δ1=[-(k+10)]2-4× (6-2m)>0恒成立,

即k2+20k+2m+94>0对k∈R恒成立.

所以Δ2=202-4(2m+94)<0,解得m>3.故m的取值范围为(3,+∞).