2019届二轮复习 空间几何体的表面积和体积 学案 （全国通用）
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考纲要求:
1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．
2.了解球的表面积与体积的计算公式．
基础知识回顾:
一、多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
二、旋转体的表(侧)面积
当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl
三、空间几何体的体积
1．柱体: V柱体＝Sh；V圆柱＝πr2h. 2．锥体:V锥体＝Sh；V圆锥＝πr2h.
3．台体:V台体＝(S＋＋S′)h；V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．
四、球的体积与表面积
1．球的表面积公式：S＝4πR2；的体积公式V＝πR3
2．与球有关的切、接问题中常见的组合：
(1)正四面体与球：如图1，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ a，CE＝a，则有R＋r＝ a，R2－r2＝|CE|2＝，解得R＝a，r＝a.
(2)正方体与球：
①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图2所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝(r为内切球半径)．
②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝a.
③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|＝R′＝a.
(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：
①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合．如图3，设AA1＝a，则R＝a.
②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体
的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝＝(l为长方体的体对角线长)．
应用举例:
类型一、几何体的表面积
【例1】【湖北省襄阳市2018届高三1月调研统一测试】如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
所以棱锥P-ABCD的表面积为
选C.
点睛:空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
例2.【2018年11月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题】将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为
A． 4π B． C． D． 2π
【答案】B
【解析】
【分析】
可以得到该几何体为底面半径为r=1，母线长为l=的圆锥，代入侧面积计算公式即可。
【点睛】
本题考查圆锥的侧面积计算公式，属于基础题。
类型二、几何体的体积
【例3】【甘肃省师大附中2018-2019学年上学期高三期中模拟】某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可知，此几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据四棱锥的体积公式即可求出结果。
【详解】
根据三视图可将其还原为如下直观图，
=
=，答案选C。
【点睛】
本题考查由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸。
【例4】．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十）】在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）学 ]
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由题意结合三视图确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积比即可.
本题选择B选项.
【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
类型三、与球相关的切、接问题
【例5】【河北省衡水金卷2018年高三调研卷】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，则，由题意，得四棱锥的体积为
，当且仅当，即时，取等号，设的中点分别为，则堑堵的外接球的球心应恰为线段的中点，又
，则堑堵的外接球的半径满足，故，故堑堵的外接球的体积为，故选B.
【例6】【江西省南昌市2018届高三二轮复习测试】若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，
如图所示，
截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，由勾股定理得到
故选A.
【点睛】
这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。
方法、规律归纳:
1．求几何体的表面积的方法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积． ]
2．“切”“接”问题的处理规律
（1）“切”的处理
解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
（2）“接”的处理
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
实战演练:
1．【湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果.
则，，，
又，
，
又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，
正方体外接球的半径为，
其体积为，故选B.
【点睛】
解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径.
2．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
几何体复原后为正方体的内接四面体，其外接球即正方体外接球.
【点睛】
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
3．【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据三视图可知，几何体是四棱锥右侧内部挖去一个半圆锥，圆锥的底面半径为 ，高为，棱锥的底面是边长为的正方形，棱锥的高也为，则该几何体的体积为，故选C.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
4．【清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试（一卷）】点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据题意，画出示意图如下图所示
因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】
本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题。
5．【广东省湛江市2019届高三调研测试题】点、、、在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何体的特征，先确定外接圆的圆心即小圆圆心，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积
【详解】 学 ]
根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1，小圆的圆心为，由于底面积不变，高最大时体积最大，所以与面垂直时体积最大，最大值为，∴，设球心为，半径为，则在直角中，，即，∴，则这个球的表面积为：，故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体的体积的最大值，是解答的关键.
6．【2018年11月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题】将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为
A． 4π B． C． D． 2π ]
【答案】B
【解析】
【分析】
可以得到该几何体为底面半径为r=1，母线长为l=的圆锥，代入侧面积计算公式即可。
【点睛】
本题考查圆锥的侧面积计算公式，属于基础题。
7．【广东省珠海市2019届高三9月摸底考试】圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥的底面半径、母线长，结合圆锥表面积公式，即可求出答案.
【详解】
圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
圆锥的底面半径，母线长；
表面积
故选C.
【点睛】
本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥轴截面等知识，属于基础题.
8．【广东省2019届高三六校第一次联考】已知三棱锥中，
，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.
，，，,
在中，；
在中，；
外接球半径，
，解得
，外接球表面积
故选D.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.
9．【陕西省四校联考2019届高三高考模拟】如图，直三棱柱的所有棱长都是2，D，E分别是AC，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
(1)要证平面 ，转证平面平面ABC且 即可；(2) 点到平面的距离等于点A到平面的距离，利用等积法得到所求的体积.
（2）连结交于O，
∵O为的中点，
∴点到平面的距离等于点A到平面的距离．
∴．
【点睛】
求解空间几何体体积的常用策略：
（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；
（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可； 学 ]
（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.
（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.
10．【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试】如图，在四棱锥中，，，，
．
（1）求证：；
（2）当几何体的体积等于时，求四棱锥.的侧面积．
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
试题分析：（1）取的中点，连结，由直角梯形性质可得
，又 平面 ；（2）由可得 ，根据（1）可得三角形是直角三角形，根据勾股定理可得其他三个侧面也是直角三角形，由三角形面积公式可得 四棱锥.的侧面积.
（2）
，，
又
四棱锥的侧面积为
.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直、棱锥的侧面积及“等积变换”的应用，属于难题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
