2019届二轮复习 空间几何体的表面积和体积 学案 （全国通用）

2019年高考数学二轮复习创新课堂

专题三  立体几何

10  第1讲：空间几何体的表面积和体积

考情速递

1真题感悟

真题回放

1．（2018•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】：C

【解析】：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．

如图所示：

故该几何体的体积为：V=．

故选：C．

2．（2018•新课标Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　）

A．12π B．12π C．8π D．10π

【答案】：B

3. （2018•新课标Ⅲ）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）

A．12 B．18 C．24 D．54

【答案】：B

【解析】：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，学      

球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：

O′C==，OO′==2，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：=18．故选：B．

4. （2018•江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　．

【答案】：

【解析】：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．

故答案为：．

2热点题型

题型一：空间几何体的表面积

例1.（2018•新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）

A．2 B．2 C．3 D．2

【答案】：B

【解析】：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，

直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．故选：B．

题型二：空间几何体的体积

例2. （2018•天津）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为　　．

【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可．

【答案】：

【解析】

正方体的棱长为1，M﹣EFGH的底面是正方形的边长为：，

四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为，

四棱锥M﹣EFGH的体积：=．

故答案为：．

3.新题预测

2（2018•濮阳三模）已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，且△PAB是边长为的正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（　　）

A． B．4π C．7π D．16π

【答案】：C

故选：C．

3. （2018•武侯区校级模拟）祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易．”这里的“幂”指水平截面的面积．“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．于是可把半径相等的半球（底面在下）和圆柱（圆柱高等于半径）放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥（锥尖朝下），考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积．设由椭圆所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图，称为“椭球体”），请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积．其体积等于　　．

【答案】：b2a．

专项训练题

1.（2018•顺庆区校级模拟）在正方体中，分别为棱的中点（如图），用过点的平面截去该正方体的顶点C1所在的部分，则剩余几何体的正视图为（　　）

学  ]

A． B． C． D．

【答案】：B

【解析】：由已知可知过点M，N，P的截面是过正方体棱BB1、BC、CD的中点的正六边形，

所以剩余部分几何体的左视图应是选项B．

故选：B．

2.(2018年新课标Ⅰ文)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(    )

A.2                 B.2               C.3               D.2

【答案】：B

【解析】：该几何体的立体图如图1所示,其中圆柱的高为2,侧面展开图如图2所示.由图可知在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为＝2.

图1                              图2

3（2018年北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】：C

【解析】：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选C．

4．（2018•东城区一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为　　

学  ]

【答案】：12+2 

5.(2018年新课标Ⅲ文)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥D­ABC体积的最大值为(    )

A.12              B.18               C.24             D.54

【答案】：B

【解析】：由△ABC为等边三角形且面积为9,得S△ABC＝·|AB|2＝9,解得AB＝6.设半径为4的球的球心为O,△ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点处(如图).O′C＝××6＝2,OO′＝＝2,则三棱锥D­ABC高的最大值为6,则三棱锥D­ABC体积的最大值为××63＝18.

6．如图为一简单组合体，其底面 ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．

（1）求证：BE∥平面PDA；

（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．

（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE

∴平面PDCE⊥平面ABCD

∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD

∴BC⊥平面PDCE﹣

∵

∴四棱锥B﹣CEPD的体积．