2019届二轮复习　导　数学案（全国通用）

回扣2　导　数

1.导数的几何意义

(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).

(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上.

2.利用导数研究函数的单调性

(1)求可导函数单调区间的一般步骤

①求函数f(x)的定义域；

②求导函数f′(x)；

③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间.

(2)由函数的单调性求参数的取值范围

①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；

②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，

f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；

③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集.

3.利用导数研究函数的极值与最值

(1)求函数的极值的一般步骤

①确定函数的定义域；

②解方程f′(x)＝0；

③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：

若左正右负，则x0为极大值点；

若左负右正，则x0为极小值点；

若不变号，则x0不是极值点.

(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤

①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；

②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

1.已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b).

2.f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.

1.曲线y＝f(x)＝在点(1，f(1))处的切线方程是____________.

答案　y＝

解析　∵f(x)＝的导数f′(x)＝，

∴曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝0，

∵切点为，

∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.

2.已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝__________.

答案　2

解析　∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，

令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.

当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

∴f(x)的极小值点为a＝2.

3.f(x)＝x2＋3xf′(2)，则1＋f′(1)＝________.

答案　－3

解析　由f(x)＝x2＋3xf′(2)，

求导可得f′(x)＝2x＋3f′(2)，f′(2)＝4＋3f′(2)，

f′(2)＝－2，则f′(x)＝2x－6，f′(1)＝2－6＝－4，

所以1＋f′(1)＝－3.

4.设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为____________.

答案　

解析　由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，

因为ex＋1＞1，所以∈(0,1)，

由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，

又－2sin x∈[－2,2]，

所以3a－2sin x∈[－2＋3a,2＋3a]，

要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，

总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上一点处的切线l2，

使得l1⊥l2，则

解得－≤a≤.

5.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b的值为________.

答案　－7

解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

由已知可得

解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3，

经验证，a＝4，b＝－11符合题意，

故a＋b＝－7.

6.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上f′(x)<x，若f(2－m)＋f(－m)－m2＋2m－2≥0，则实数m的取值范围为______________.

答案　[1，＋∞)

解析　令g(x)＝f(x)－，

则g(－x)＋g(x)＝0，g(x)是R上的奇函数.

又当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝f′(x)－x<0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，

所以g(x)是R上的单调减函数.

原不等式等价于g(2－m)＋g(－m)≥0，g(2－m)≥－g(－m)＝g(m)，

所以2－m≤m，m≥1.

7.若函数f(x)＝－(1＋2a)x＋2ln x(a＞0)在区间内有极大值，则a的取值范围是____________.

答案　(1,2)

解析　f′(x)＝ax－(1＋2a)＋＝(a＞0，x＞0).

若f(x)在内有极大值，

则f′(x)在内先大于0，再小于0，

即解得1＜a＜2.

8.若函数f(x)＝则函数y＝|f(x)|－的零点个数为________.

答案　4

解析　当x<1时，f(x)＝－1单调递减，且f(x)>－；当x≥1时，f(x)＝，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝，当x∈[1，)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f()＝>，且f(x)≥0，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于0.作出函数y＝|f(x)|的大致图象如图所示，由图可知，函数y＝|f(x)|－的零点个数为4.

9.已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)＜φ(x2)成立，求实数t的取值范围.

解　(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，

∴当x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，

在(0，＋∞)上单调递减.

∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，

单调减区间为(0，＋∞).

(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)＜φ(x2)成立，

则2[φ(x)]min＜[φ(x)]max.

∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，x∈[0,1]，

∴φ′(x)＝＝－.

①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，

∴2φ(1)＜φ(0)，即t＞3－＞1；

②当t≤0时，φ′(x)≥0，φ(x)在[0,1]上单调递增，

∴2φ(0)＜φ(1)，即t＜3－2e＜0；

③当0＜t＜1时，若x∈[0，t)，则φ′(x)＜0，φ(x)在[0，t)上单调递减，

若x∈(t,1]，则φ′(x)≥0，φ(x)在(t,1]上单调递增，

∴2φ(t)＜max{φ(0)，φ(1)}，

即2·＜max.              (*)

由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上单调递减，

故≤2·≤2，而≤≤，

∴不等式(*)无解.

综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪，使得命题成立.

10.已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；

(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

解　(1)由题意得f′(x)＝x2－ax，

所以当a＝2时，f(x)＝x3－x2，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，

所以f′(3)＝3，

因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是

y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.

(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，

所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x

＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x).

令h(x)＝x－sin x，

则h′(x)＝1－cos x≥0，

所以h(x)在R上单调递增.

因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；

当x<0时，h(x)<0.

①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，

当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.

所以当x＝a时，g(x)取到极大值，

极大值是g(a)＝－a3－sin a；

当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.

②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，

当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；

所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值；

③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，

当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.

所以当x＝0时，g(x)取到极大值，

极大值是g(0)＝－a；

当x＝a时，g(x)取到极小值，

极小值是g(a)＝－a3－sin a.

综上所述，

当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－a3－sin a，极小值是g(0)＝－a；

当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；

当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－sin a.