


2019届二轮复习 导 数学案(全国通用)
展开回扣2 导 数
1.导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,该切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
(2)切点的两大特征:①在曲线y=f(x)上;②在切线上.
2.利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域;
②求导函数f′(x);
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间,由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间.
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增,则f′(x)≥0(x∈M)恒成立;若可导函数f(x)在区间M上单调递减,则f′(x)≤0(x∈M)恒成立;
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间,
f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集;
③若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,则I是其单调区间的子集.
3.利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域;
②解方程f′(x)=0;
③判断f′(x)在方程f′(x)=0的根x0两侧的符号变化:
若左正右负,则x0为极大值点;
若左负右正,则x0为极小值点;
若不变号,则x0不是极值点.
(2)求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤
①求函数y=f(x)在[a,b]内的极值;
②比较函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)的大小,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
1.已知可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减),则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a,b)恒成立,不能漏掉“=”,且需验证“=”不能恒成立;已知可导函数f(x)的单调增(减)区间为(a,b),则f′(x)>0(<0)的解集为(a,b).
2.f′(x)=0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在x=x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化,若变化,则为极值点;若不变化,则不是极值点.
1.曲线y=f(x)=在点(1,f(1))处的切线方程是____________.
答案 y=
解析 ∵f(x)=的导数f′(x)=,
∴曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=0,
∵切点为,
∴曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y=.
2.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=__________.
答案 2
解析 ∵f(x)=x3-12x,∴f′(x)=3x2-12,
令f′(x)=0,则x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(x)的极小值点为a=2.
3.f(x)=x2+3xf′(2),则1+f′(1)=________.
答案 -3
解析 由f(x)=x2+3xf′(2),
求导可得f′(x)=2x+3f′(2),f′(2)=4+3f′(2),
f′(2)=-2,则f′(x)=2x-6,f′(1)=2-6=-4,
所以1+f′(1)=-3.
4.设曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为____________.
答案
解析 由f(x)=-ex-x,得f′(x)=-ex-1,
因为ex+1>1,所以∈(0,1),
由g(x)=3ax+2cos x,得g′(x)=3a-2sin x,
又-2sin x∈[-2,2],
所以3a-2sin x∈[-2+3a,2+3a],
要使过曲线f(x)=-ex-x上任意一点的切线l1,
总存在过曲线g(x)=3ax+2cos x上一点处的切线l2,
使得l1⊥l2,则
解得-≤a≤.
5.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b的值为________.
答案 -7
解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+b,
由已知可得
解得a=4,b=-11或a=-3,b=3,
经验证,a=4,b=-11符合题意,
故a+b=-7.
6.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(2-m)+f(-m)-m2+2m-2≥0,则实数m的取值范围为______________.
答案 [1,+∞)
解析 令g(x)=f(x)-,
则g(-x)+g(x)=0,g(x)是R上的奇函数.
又当x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)-x<0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以g(x)是R上的单调减函数.
原不等式等价于g(2-m)+g(-m)≥0,g(2-m)≥-g(-m)=g(m),
所以2-m≤m,m≥1.
7.若函数f(x)=-(1+2a)x+2ln x(a>0)在区间内有极大值,则a的取值范围是____________.
答案 (1,2)
解析 f′(x)=ax-(1+2a)+=(a>0,x>0).
若f(x)在内有极大值,
则f′(x)在内先大于0,再小于0,
即解得1<a<2.
8.若函数f(x)=则函数y=|f(x)|-的零点个数为________.
答案 4
解析 当x<1时,f(x)=-1单调递减,且f(x)>-;当x≥1时,f(x)=,则f′(x)=,令f′(x)=0,得x=,当x∈[1,)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f()=>,且f(x)≥0,当x趋近于+∞时,f(x)趋近于0.作出函数y=|f(x)|的大致图象如图所示,由图可知,函数y=|f(x)|-的零点个数为4.
9.已知函数f(x)=(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+,存在实数x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,求实数t的取值范围.
解 (1)∵函数的定义域为R,f′(x)=-,
∴当x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0,
∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,
在(0,+∞)上单调递减.
∴f(x)的单调增区间为(-∞,0),
单调减区间为(0,+∞).
(2)存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,
则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.
∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=,x∈[0,1],
∴φ′(x)==-.
①当t≥1时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减,
∴2φ(1)<φ(0),即t>3->1;
②当t≤0时,φ′(x)≥0,φ(x)在[0,1]上单调递增,
∴2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0;
③当0<t<1时,若x∈[0,t),则φ′(x)<0,φ(x)在[0,t)上单调递减,
若x∈(t,1],则φ′(x)≥0,φ(x)在(t,1]上单调递增,
∴2φ(t)<max{φ(0),φ(1)},
即2·<max. (*)
由(1)知,g(t)=2·在[0,1]上单调递减,
故≤2·≤2,而≤≤,
∴不等式(*)无解.
综上所述,存在t∈(-∞,3-2e)∪,使得命题成立.
10.已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
解 (1)由题意得f′(x)=x2-ax,
所以当a=2时,f(x)=x3-x2,f(3)=0,f′(x)=x2-2x,
所以f′(3)=3,
因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是
y=3(x-3),即3x-y-9=0.
(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,
所以g′(x)=f′(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x
=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x).
令h(x)=x-sin x,
则h′(x)=1-cos x≥0,
所以h(x)在R上单调递增.
因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;
当x<0时,h(x)<0.
①当a<0时,g′(x)=(x-a)(x-sin x),
当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g′(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(a,0)时,x-a>0,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=a时,g(x)取到极大值,
极大值是g(a)=-a3-sin a;
当x=0时,g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.
②当a=0时,g′(x)=x(x-sin x),
当x∈(-∞,+∞)时,g′(x)≥0,g(x)单调递增;
所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值;
③当a>0时,g′(x)=(x-a)(x-sin x),
当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g′(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(0,a)时,x-a<0,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=0时,g(x)取到极大值,
极大值是g(0)=-a;
当x=a时,g(x)取到极小值,
极小值是g(a)=-a3-sin a.
综上所述,
当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sin a,极小值是g(0)=-a;
当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;
当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sin a.