2019届二轮复习（理）抛物线方程学案（全国通用）

【母题 一】【2018高考新课标1理数8】

【母题原题】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

【答案】D

点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.   

【母题 二】【2017高考新课标1理数10】

【母题原题】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A． 16    B． 14    C． 12    D． 10

【答案】A

【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴ ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知

，当且仅当（或）时，取等号.

点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以

.

【母题 三】【2016高考新课标1理数10】

【母题原题】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为

A． 2    B． 4    C． 6    D． 8

【答案】B

【考点】抛物线的性质

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.

【命题意图】

1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．

2．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．

3．掌握抛物线的简单几何性质,理解数形结合的思想．

【命题规律】

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离    的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的        ，直线l叫做抛物线的      .

答案：相等  焦点  准线                  

          ＋x0    －x0    ＋y0  －y0

2．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.   (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．

(3)＋为定值.     (4)以AB为直径的圆与准线相切．

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

【方法总结】

1、与抛物线有关的最值问题的解题策略

该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．

 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

 (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

2．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.   (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．

(3)＋为定值.     (4)以AB为直径的圆与准线相切．

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

1．【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（二）】已知直线，，点为抛物线上的任一点，则到直线的距离之和的最小值为（    ）

A． 2    B．     C．     D．

【答案】C

【解析】分析：由抛物线的定义可知P到直线l1，l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离．

详解：抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为l1：x=2．

∴P到l1的距离等于|PF|，

∴P到直线l1，l2的距离之和的最小值为F（﹣2，0）到直线l2的距离．

故选：C．

点睛：本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题.

2．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三第三次模拟考试】已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，,且的最小值为，则等于

A． 4    B．     C． 5    D．

【答案】B

故选B．

点睛：（1）圆锥曲线中的最值问题，解答时可通过设出参数得到目标函数，然后根据目标函数的特征选择合适的方法求出最值．

（2）抛物线的定义实现了点到直线的距离和两点间的距离的相互转化，利用这一结论可使得有关问题的解决变得简单易行．  ]

3．【黑龙江省2018届高三高考仿真模拟(三)】已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

4．【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】如图，已知直线 与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（   ）

A．     B．

C．     D． 2

【答案】C

  ]

点睛：该题考查的是直线与椭圆相交的有关问题，在解题的过程中，需要充分利用题的条件，灵活运用抛物线的定义，能够发现直线所满足的条件，联立求得点的坐标，代入求得k的值，即得结果.

5．【青海省西宁市2018届高三下学期复习检测二（二模）】抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，为周长的最小值为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

点睛：该题考查的是有关抛物线中的最值问题，用到的知识点有抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离是相等的，从而将有关线段转换，再者就是三点共线时对应的线段的长度和是最小的，从而求得相应的结果.   

6．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区2018届高三5月适应性训练】过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且直线的倾斜角，点在轴上方，则的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】分析：由题意得到抛物线的焦点坐标，根据解三角形可得，然后由抛物线的定义得到，于是可得，结合可得的取值范围．

详解：∵抛物线方程为， 学  ]

∴抛物线的焦点为，

点睛：抛物线的定义给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦问题的重要途径．

7．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三下学期考前押题卷（二）】已知抛物线 ，过焦点 作直线与抛物线交于点 ，，设 ，，则 的最小值为

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由抛物线与过其焦点的直线方程联立，消去整理成关于一元二次方程，设出两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得结论.

【详解】

由题意知，抛物线的焦点坐标为，直线方程为，

当斜率存在时，设直线的方程为，

联立抛物线方程，可得，

设出，

则，

依据抛物线定义得出，

当斜率不存在时，，

则的最小值是4，故选D.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.   

8．【东北师大附中2018届四模】设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若,则抛物线的准线方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，在解题的过程中，利用直线过的点以及直线的倾斜角，利用点斜式写出直线的方程，之后与抛物线联立，求得两根和，之后借助于抛物线的定义，转化得出p所满足的等量关系式，最后求得题中所要的结果.

9．【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试】若抛物线的焦点是,准线是,点是抛物线上一点，则经过点、且与相切的圆共（  ）

A． 0个    B． 1个    C． 2个    D． 4个

【答案】D

【解析】分析：由于圆经过点、且与相切，故圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到点和准线的

点睛：解答本题要抓住两点：一是圆心在线段FM的垂直平分线上，二是圆心到焦点和准线的距离相等，结合抛物线的定义可得圆心应在抛物线上，故可得圆心的个数取决于点M的个数，且每条线段FM的垂直平分线与抛物线都各有两个交点．

10．【河南省名校2018届高三压轴第二次考试】已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（  ）

A．     B． 5    C．     D． 4

【答案】C

【解析】分析：先设，再根据的最小值为求出p的值，再求|BF|的长得解.

详解：设，则

因为，所以或（舍去）.

所以

故答案为：C

点睛：（1）本题主要考查抛物线的基础知识.(2)解答本题的关键是转化的最小值为，主要是利用函数的思想解答.处理最值常用函数的方法，先求出函数|PA|的表达式再求函数在的最小值.

11．【重庆市2018届高三第三次诊断性考试】已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形为矩形，则矩形的面积是（    ）

A．     B．     C．     D． 3

【答案】A

点睛：该题考查的是有关抛物线及圆的有关性质以及矩形的面积公式，在解题的过程中，MN和PQ关于圆心对称是最关键的一步，此时可以求得点M的横坐标，借助于抛物线的方程，求得其纵坐标，从而求得对应的边长，利用面积公式，求得结果.   

12．【河北省衡水中学2018年高考押题(三）】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（ ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】分析：画出如图所示的示意图，根据点在抛物线上，可得，由椭圆的性质，分别表示出，根据直线被截得的弦长，可得线段之间的关系，从而得到，之后将两式联立，求出的值，代入到相应的式子求得结果.

详解：如图所示：

由题意：在抛物线上，则，则，（1）

点睛：该题考查的是有关椭圆和抛物线的定义和性质的问题，在解题的过程中，首先利用点在抛物线上得到，结合椭圆的性质以及线段之间的关系，得到，联立求得，代入求得结果.

13．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】如图，设抛物线的焦点为，过轴上一定点作斜率为的直线与抛物线相交于两点，与轴交于点，记面积为，面积为，若，则抛物线的标准方程为

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据斜率与定点，求得直线方程，联立抛物线方程，并解得直线与抛物线的两个交点横坐标；根据三角形面积比值，转化为两个交点的横坐标比值，进而求得参数p的值。

【详解】

因为直线斜率为2，经过定点 

所以直线方程为 ，即

作轴，轴

因为，即 ，所以    

【点睛】

本题考查了直线与抛物线的位置关系，并根据方程思想求得参数值，计算量较为复杂，属于难题。

14．【广西壮族自治区南宁市第二中学2018届高三年级6月份考试】已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则（　　）

A．     B． 1    C． 2    D． 3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意画出图形分析，根据抛物线的定义可得，则得，再结合弦长可得．然后在Rt△MDE中结合勾股定理可得，进而可得．

【详解】

画出图形如下图所示．

故选B．

【点睛】

求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，可根据涉及抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用相应曲线的定义、标准方程、几何性质，并根据数形结合的方法构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解可得到结果．

15．【福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查】已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（    ）

A． 1    B． 2    C．     D． 8

【答案】A

点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及平面向量的数量积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.