2019届二轮复习（理）专题67参数方程学案（全国通用）
展开1．了解参数方程，了解参数的意义。
2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程。
一、参数方程和普通方程的互化
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．
【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
2．几种常见的参数方程
(1)圆的参数方程
若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为(θ为参数)．
(2)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为(θ为参数)．
(4)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)．
二、直线的参数方程
利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点P (x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝； ]
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.
三、极坐标与参数方程的综合应用规律
1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．
2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
高频考点一 参数方程与普通方程的互化
【例1】 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
【方法规律】 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.
(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形.
【变式探究】 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值.
高频考点二 参数方程及应用
【例2】已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.
(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
【变式探究】 平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为.
(1)求圆C和直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值.
解 (1)由曲线C：(x－1)2＋y2＝1.
得参数方程为(θ为参数).
直线l的参数方程为(t为参数).
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，
得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，
由题意得|m2－2m|＝1，得m＝1，m＝1＋或m＝1－.
高频考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 ]
【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
【变式探究】 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长. ]
解 (1)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcos θ，
y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.
1. （2018年全国I卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．
【答案】 (1）．
（2）的方程为．
【解析】
（1）由，得的直角坐标方程为．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
2. （2018年全国Ⅱ卷理数）[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）
3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
【答案】（1）
（2） 为参数，
【解析】
（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
4. （2018年江苏卷） [选修4—4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
【答案】直线l被曲线C截得的弦长为
【解析】因为曲线C的极坐标方程为，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，
则直线l过A（4，0），倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，
所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
1.【2017江苏，21】在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.
【答案】
2. 【2017课标II，理22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。
【答案】(1)；(2) 。
【解析】
（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知
|OP|= ， =.
由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.
（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2， ，于是△OAB面积
当时， S取得最大值.
所以△OAB面积的最大值为.
3.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为 .
【答案】1
4.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
【答案】（1）与的交点坐标为， ；（2）或.
【解析】
（1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由解得或.
从而与的交点坐标为， .
1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．
在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.
（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．
【答案】（I）圆,（II）1
【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.
是以为圆心，为半径的圆.
将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为
.
2.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得
于是 ]
学 ]
由得，
所以的斜率为或.
3.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
………………8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分
4.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.
解 椭圆C的普通方程为x2＋＝1.
将直线l的参数方程代入x2＋＝1，
得＋＝1，即7t2＋16t＝0，
解得t1＝0，t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝.
所以线段AB的长为.
1.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 ( 为参数) ，与C相交于两点，则 .
【答案】
2．【2015高考重庆，理15】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为 .
【答案】
【解析】直线的普通方程为，由得，直角坐标方程为，把代入双曲线方程解得，因此交点.为，其极坐标为.
3.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为 ，则点到直线的距离为 .
【答案】．
【解析】
4.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 | |X|X|K]
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极
轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
（I）写出的直角坐标方程；
（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
（I）由，得，
从而有，所以.
(II)设，又，则，
故当时，取最小值，此时点的直角坐标为.
1．（2014·福建卷） (Ⅱ)选修44：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
2．（2014·重庆卷）已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝ ．
【答案】
【解析】由题意，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程为y2＝4x，联立直线l与曲线C的方程，解得所以直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝＝.
3．（2014·辽宁卷）选修44：坐标系与参数方程
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.
