2019届二轮复习 抛物线 学案 （全国通用）

第07节  抛物线

【考纲解读】

【知识清单】

1. 抛物线的标准方程及几何性质

2. 抛物线的定义及应用

平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

3. 直线和抛物线的位置关系

（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若

①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．

（2）直线与抛物线的相交弦

设直线交抛物线于点两点，则

==

同理可得

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

【重点难点突破】

考点1  抛物线的标准方程及几何性质

【1-1】已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是(   )   

A．2               B．1               C．               D．

【答案】C

【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为(   )

A．y2=4x       B．y2=8x       C．x2=4y        D．x2=8y

【答案】B

【解析】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上排除C、D，设抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为，双曲线的渐进线方程为，由面积为可得，所以，答案选B.

【1-3】【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线 的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为       .

【答案】

【解析】

【综合点评】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.

【领悟技法】

1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

2．求抛物线方程应注意的问题

(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；

(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；

(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

【触类旁通】

【变式一】如图，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　)

A．y2＝9x           B．y2＝6x

C．y2＝3x           D．y2＝x

【答案】C

【变式二】【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），

过P作PN垂直直线x=﹣1于N，  ]

由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，

【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素．

2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解.

考点2  抛物线的定义及应用

【2-1】过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（   ）

A．8        B．10       C．6       D．4

【答案】A

【解析】由于，因此，根据焦点弦公式.

【2-2】【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为      .

【答案】

【2-3】【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则            .

【答案】6

【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，

点评：抛物线的定义是联系抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，解题时要注意合理转化．

【综合点评】

1．已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分m＝或m＝讨论，求离心率值，需要寻求的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．

2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．

【领悟技法】

1．抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．

2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

【触类旁通】

【变式1】【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为    （    ）

A.     B.      C.     D.

【答案】C

【变式2】【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是       ．

【答案】

【解析】

【综合点评】利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．

考点3  直线和抛物线的位置关系

【3-1】【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

【答案】D

【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.

【3-2】【2017届浙江省温州市高三8月模拟】过抛物线的焦点的直线分别交抛物线于两点，交直线于点，若，则              ．

【答案】0 学  ]

【3-3】【2018年理数全国卷II】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

    （1）求的方程；

    （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

【答案】(1) y=x–1,(2)或．

详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得． ，故．

所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．

因此l的方程为y=x–1．

【综合点评】在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．

【领悟技法】

.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：

①焦点弦长

②

③，其中|AF|叫做焦半径，

④焦点弦长最小值为2p.根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p.

【触类旁通】

【变式一】【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．  ]

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，．

因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．

【变式二】【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A， B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.     

【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点 的坐标，证明.

【综合点评】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.

【易错试题常警惕】

易错典例：求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.

易错分析：对直线和抛物线有一个交点理解有误以及．

正确解析：1.当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.

2.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.

3.一般地，设所求的过点的直线为,则，

令解得k = ,∴ 所求直线为

综上，满足条件的直线为：

温馨提示：直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴．

【学 素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

【典例】【2017浙江，21】如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题解析：

（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是，因为|PA|==

|PQ|= ，所以|PA PQ|=

令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．