2019届二轮复习椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质学案（全国通用）

2019届二轮复习  椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质  学案 （全国通用）

【考点剖析】

1.命题方向预测：

（1）高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.

（2）高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.

（3）高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，过焦点的直线较多.

选择题或填空题抛物线与椭圆、双曲线综合趋势较强，涉及直线与抛物线位置关系的解答题增多.

2.课本结论总结：

1.椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．

(2)代数式形式：集合

①若，则集合P为椭圆；

②若，则集合P为线段；

③若，则集合P为空集．

2.椭圆的标准方程及其几何性质

3．双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

(1)在平面内；

(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；

(3)这一定值一定要小于两定点的距离．

4. 双曲线的几何性质

5.抛物线方程及其几何性质

3.名师二级结论：

椭圆：

一条规律

椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上0＜m＜n.

两种方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．

三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．

双曲线：

一条规律

双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．

两种方法

(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．

(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．

三个防范

(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.

(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．

双曲线的标准方程中，对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．

若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；

若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；

若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞.

(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，

－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x.

抛物线：

一个结论

焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋.

两种方法

(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．

(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)．

4.考点交汇展示：

（1）与数列交汇

【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】设，由椭圆的定义得：，∵的三条边

 成等差数列，∴，联立，，解得  

 ，由余弦定理得：，将

 代入可得，

，整理得：，由，得，解得：或（舍去），故选D．

（2）与导函数及其应用交汇

在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.

将代入C得方程整理得.

∴.

∴==.

当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.     ……12分

（3）与解三角形交汇

【2018年理数全国卷II】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A.     B.     C.     D.

【答案】D

 (4)与平面向量交汇

【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

【答案】D

【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.

【考点分类】

考向一  椭圆的标准方程及其几何性质

1. 【2016高考新课标1文数】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为（   ）

（A）     （B）     （C）    （D）

【答案】B

【解析】如图,由题意得在椭圆中,

在中,,且,代入解得

,所以椭圆得离心率得,故选B.  

2.【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=           时，点B横坐标的绝对值最大．

【答案】5

【方法总结】

1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．

2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．

3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a、b的关系：.

考向二  双曲线的标准方程及其几何性质

1. 【2018年全国卷Ⅲ理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A.     B. 2    C.     D.

【答案】C

2.【2018届河南省驻马店市正阳县第二高级中学高三上开学】以的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】双曲线的焦点为，顶点为，双曲线的顶点为焦点，长半轴长为的椭圆中，，椭圆的方程为，故选D.  

【方法总结】

1．双曲线方程的求法

(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)

(2)与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为．

 (3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0).

2．已知双曲线的离心率e求渐近线方程注意应用，并判断焦点的位置．

3．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时若焦点不确定时，m＝(m>0)或m＝，故离心率有两种可能.

考向三  抛物线的标准方程及其几何性质

1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16    B．14    C．12    D．10

【答案】A

2. 【山东省济南市2018届二模】已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】设A,B,,因为所以切线PA的方程为所以切线PB的方程为联立切线PA,PB的方程解之得x=a+b,y=ab,所以P（a+b,ab）.

所以故答案为：A

【方法总结】

1.抛物线的定义实质上是一种转化思想即

2．抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离．

3．抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为简的作用．注意定义在解题中的应用.研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用.    

【热点预测】

1．【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是（    ）

A. (−，0)，(，0)    B. (−2，0)，(2，0)  C. (0，−)，(0，)    D. (0，−2)，(0，2)

【答案】B

2．【2018年理数天津卷】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.

3．【2018年理新课标I卷】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=（    ）

A.     B. 3    C.     D. 4

【答案】B

【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，

分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.  

4．【2018年理数全国卷II】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

5.【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【解析】双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，

椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，

据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，

则双曲线的方程为 .

6.【2018届南宁市高三摸底】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

7.【江西省重点中学协作体2018届二模】设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则双曲线的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

当M接近右顶点时，射线MN接近与轴垂直，OT接近于轴，即T接近于点O，于是，∴由得，∴，故选B. 学 .

8. 【山东省济南市2018届二模】设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】的周长为

，∴

故选：A

9.【南省郑州市2018届三模】已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

10.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则            。

【答案】6

【解析】

如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，

11.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为      .

【答案】

12.【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为        .

【答案】

【解析】试题分析：

13．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是        ．

【答案】2

14．【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为          ；双曲线N的离心率为          ．

【答案】    2

【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，