2019届二轮复习抛物线学案（全国通用）


考纲解读

（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

一、抛物线的定义和标准方程
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；
（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.
注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误.
二、抛物线的几何性质
1．抛物线的几何性质
标准方程




图 形




几
何
性
质
范 围




对称性
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
焦点




准线方程




顶 点
坐标原点(0，0)
离心率

2．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线方程




焦半径公式




3．抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则
抛物线方程




焦点弦公式




其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为2p．
4．必记结论
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.
（3）＋为定值.
（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.

考向一 抛物线的定义和标准方程
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F（抛物线的焦点），一条定直线l（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.
2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．

典例1 平面内动点到点的距离和到直线：的距离相等，则动点的轨迹方程为是 .
【答案】
【解析】由题意知，该点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其中，所以方程为.
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题.
典例2 抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则
A． B．1
C．2 D．4
【答案】C

本题选择C选项.
【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.

1．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为
A． B．2
C．3 D．4
考向二 求抛物线的标准方程
1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：

若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.

典例3 若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4,则该抛物线的方程是
A．y2=x B．y2=x
C．y2=2x D．y2=x
【答案】A

典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．
（1）过点；
（2）焦点在直线上．


2．顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是
A． B．
C．或 D．或
考向三 抛物线的简单几何性质及其应用
确定及应用抛物线性质的关键与技巧：
(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.

典例5 已知等腰三角形OPM中，OP⊥MP，O为抛物线=2px(p>0)的顶点，点M在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，则点P与抛物线的焦点F之间的距离是
A．2p B．p
C．2p D．p
【答案】B
【解析】由题意得因此点P与抛物线的焦点F之间的距离为，选B.
【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．

3．已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则
A． B．
C． D．
考向四 焦点弦问题
与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键.

典例6 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求AB的中点M到抛物线准线的距离.

典例7 已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1 （1）求该抛物线的方程;
（2）O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.


4．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则
A．1 B．2
C．3 D．4
考向五 抛物线中的最值问题
1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.
2.有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值. 学 ！

典例8 如图,已知点及抛物线上的动点,则的最小值是

A．2 B．3
C．4 D．
【答案】A


典例9 已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点 A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.
【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.
如图所示,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ.



5．已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，，设，，则的最小值为
A． B．
C． D．


1．抛物线的准线方程是
A． B．
C． D．
2．已知，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．以x轴为对称轴,通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是
A．y2=8x B．y2=-8x
C．y2=8x或y2=-8x D．x2=8y或x2=-8y
4．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝
A．0 B．3
C．2 D．4
5．已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是
A． B．3
C． D．2
6．设为抛物线：的焦点，为抛物线上的一点，为原点，若为等腰三角形，则的周长为
A． B．
C．或 D．或
7．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于点，与抛物线的准线相交于点，若，则
A． B．
C． D．
8．曲线上两点关于直线对称，且，则m的值为
A． B．
C． D．
9．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的两个动点A,B始终满足∠AFB=60°,过弦AB的中点H作抛物线的准线的垂线HN,垂足为N,则的取值范围为
A．(0,] B．[,+∞)
C．[1,+∞) D．(0,1]
10．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p= .
11．已知点是抛物线上的两点，，点是它的焦点，若，则的值为 ．
12．已知等腰梯形的顶点都在抛物线上，且，，则点到抛物线的焦点的距离是 ．
13．已知抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,点A(0,1),射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶3,则实数a的值为 .
14．已知抛物线的焦点为,准线方程是.
(1)求此抛物线的方程;
(2)设点在此抛物线上,且,若为坐标原点,求的面积.






15．已知M,N是焦点为F的抛物线上两个不同的点,线段MN的中点A的横坐标为.
(1)求|MF|+|NF|的值;
(2)若p=2,直线MN与x轴交于点B,求点B的横坐标的取值范围.






16．设A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且满足OA⊥OB(O为坐标原点).
求证:(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值;
(2)直线AB经过一个定点.










17．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
(1)求该抛物线的方程；
(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点，并说明理由.







1．（2018新课标I理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5 B．6
C．7 D．8
2．（2016新课标全国I理 ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为
A．2 B．4
C．6 D．8
3．（2017新课标全国I理 ）已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14
C．12 D．10
4．（2016浙江理 ）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 ．
5．（2017新课标全国II理 ）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
6．（2018新课标Ⅲ理）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
7．（2017浙江）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

（1）求直线AP斜率的取值范围；
（2）求的最大值．






8．（2016新课标全国III理 ）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点．
（1）若在线段上，是的中点，证明；
（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．




9．（2018新课标Ⅱ理）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．








10．（2018北京理）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．













变式拓展

1．【答案】C

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出的中点的横坐标，再求出线段的中点到抛物线的准线的距离．
2．【答案】C
【解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点，
∴设抛物线的标准方程为（）或（），

【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题．依题意，设抛物线的标准方程为（）或（），将点的坐标代入抛物线的标准方程，求得即可．注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点，且该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项C符合题意.
3．【答案】C
【解析】由抛物线的定义知，解得，
又点在抛物线上，代入解得.
过点M作抛物线的准线的垂线，设垂足为E,则.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出，再过点M作抛物线的准线的垂线，设垂足为E,最后解直角三角形AME得的值.
4．【答案】B
【解析】设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则，又因为以为直径的圆的方程为，所以，解得.故选B.
【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量. 学 .
5．【答案】D

【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
考点冲关

1．【答案】A
【解析】抛物线的标准方程为，焦点在轴上，，即，，则准线方程为.故选A.
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题.
2．【答案】C
【解析】若“”，则中的，所以“抛物线的焦点在轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线的焦点在轴正半轴上”，则中的，即，则“”成立，故是充分必要条件.
故答案为C.
【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.
3．【答案】C　
【解析】依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.
4．【答案】B
【解析】抛物线y2＝4x，，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，，即有，.
故选B.
【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.
5．【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为x=，当MQ∥x轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+|=.
6．【答案】D

【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键就是求出的坐标，求出周长，所以只需设出的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长.
7．【答案】D
【解析】由题意得，设点的横坐标为，则由抛物线的定义，可得，则，所以，所以．故本题选.
8．【答案】A

【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关系. 学 ！
9．【答案】D
【解析】过A,B分别作抛物线准线的垂线AQ,BP,垂足分别为Q,P,设|AF|=a,|BF|=b，则由抛物线的定义，得|AQ|=a,|BP|=b,所以|HN|=.在中，由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab，所以,因为a+b≥2,所以,当且仅当a=b时等号成立,故的取值范围为(0,1].故选D.
10．【答案】4
【解析】由双曲线﹣y2=1可得a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则,所以p=4.
11．【答案】10
【解析】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故，应填.
12．【答案】
【解析】由题意可设，因此，因此点到抛物线的焦点的距离是.
13．【答案】
【解析】依题意得焦点F的坐标为(,0),设M在抛物线的准线上的射影为K,连接MK,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,因为|FM|∶|MN|=1∶3,所以|KN|∶|KM|=2∶1,又,kFN=-=-2,所以=2,解得a=.
14．【解析】(1)因为抛物线的准线方程为，

15．【解析】(1)设,则,
而,,
∴.
(2)当p=2时,抛物线方程为.
①若直线MN的斜率不存在,则B(3,0).
②若直线MN的斜率存在,设A(3,t)(t≠0),则由(1)知，整理得,
∴,即,
∴直线,
∴B点的横坐标为,
由消去x得,
由Δ>0得0 ∴∈(−3,3).
综上,点B的横坐标的取值范围为.
【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解能力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题的能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.
16．【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.

则直线AB的方程为,
∴y=·x-·+y1=·x+.
又y1y2=-4p2,
∴y=·x-(x-2p).
∴直线AB过定点(2p,0).
17．【解析】(1)由题意设抛物线方程为，其准线方程为，

，
化简得.
直线过定点.
【名师点睛】（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.
（2）定点问题：对满足一定条件曲线上两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法：
①特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.
②分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.
直通高考

1．【答案】D

【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用根与系数的关系得到结果.
2．【答案】B
【解析】如图，设抛物线方程为(p>0)，圆的半径为r,分别交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.
3．【答案】A

【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
．
4．【答案】
【解析】.
【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离．
5．【答案】
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，

在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
6．【答案】2

【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点,分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率.

【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．
8．【解析】由题可知．设，，则，
且，，，，．
记过，两点的直线为，则直线的方程为．
（1）由于在线段上，故．记的斜率为，的斜率为，

9．【解析】（1）由题意得，l的方程为．
设，
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得（舍去），．
因此l的方程为．
（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则
解得或
因此所求圆的方程为或．
10．【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），

所以．
所以为定值．