2019届二轮复习常考题型答题技巧均匀随机数的产生学案（全国通用）

2019届二轮复习  常考题型答题技巧   均匀随机数的产生 学案 （全国通用）

【知识梳理】

1．均匀随机数的产生

(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．

(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand( )”．

2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法

(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．

(2)计算机模拟的方法：用Excel的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．

【常考题型】

题型一、用随机模拟法估计长度型几何概型

【例1】　取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？

[解]　设剪得两段的长都不小于2 m为事件A.

法一：(1)利用计算器或计算机产生n个0 1之间的均匀随机数，x＝RAND；

(2)作伸缩变换：y＝x (5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数；

(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m；

(4)则概率P(A)的近似值为.

法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0,5](这里5和0重合)；

(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数m及试验总次数n；

(3)则概率P(A)的近似值为.

【类题通法】

利用随机模拟计算概率的步骤

(1)确定概率模型；

(2)进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到[a，b]上的均匀随机数；

(3)统计计算；

(4)得出结论，近似求得概率．

【对点训练】]

已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为        ．

解析：设米粒落入△BCD内的频率为P1，米粒落入△BAD内的频率为P2，点C和点A到直线BD的距离分别为d1，d2，

根据题意：P2＝1－P1＝1－＝，

又∵P1＝＝，

P2＝＝，

∴＝＝.

答案：

题型二、用随机模拟法估计面积型的几何概型

【例2】　如图所示，在墙上挂着一块边长为32 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为3 cm，6 cm,9 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，假设投镖击在线上或没有投中木板不算，可重投，用随机模拟的方法估计：

(1)“投中小圆内”的概率是多少？

(2)“投中小圆与中圆形成的圆环”的概率是多少？

[解]　记事件A＝，

事件B＝.

按如下步骤进行：

(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；

(2)经过伸缩和平移变换，a＝a1·32－16，b＝b1·32－16，得到两组[－16,16]上的均匀随机数；

(3)统计投在小圆内的次数N1(即满足a2＋b2＜9的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数N2(即满足9＜a2＋b2＜36的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足－16＜a＜16，－16＜b＜16的点(a，b)的个数)；

(4)计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为概率P(A)，P(B)的近似值．

【类题通法】

用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别

(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；

(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．

【对点训练】

学  ]

现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．

解：(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1、b1(共N组)；

(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5) 2，b＝(b1－0.5) 2；

(3)数出满足不等式b＜2a－，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈.可以发现，试验次数越多，概率P越接近.

题型三、用随机模拟的方法计算不规则图形的面积

【例3】　(1)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为(　　)

A.　　　　　　　 　B.

C.   D．无法计算

[解析]　由几何概型的公式可得＝，

又S正方形＝4，

∴S阴影＝4×＝.

[答案]　B   ]

(2)利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(抛物线y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．

[解]　①利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；②经过平移和伸缩变换，a＝a1·4－3，b＝b1·3，得到一组[－3,1]和一组[0,3]上的均匀随机数；③统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b＜2－2a－a2的点(a，b)的个数)；④计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值；⑤设阴影部分的面积为S，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为，所以≈，故S≈即为阴影部分面积的近似值．

【类题通法】   ]

利用随机模拟法估计图形面积的步骤

(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；

(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)＝；

(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有＝，解得S＝S′，则已知图形面积的近似值为S′.

【对点训练】

利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(曲线y＝2x与直线x＝±1及x轴围成的图形)的面积．

解：设事件A为“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”，操作步骤如下：

第一步，用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1＜x＜1,0＜y＜2x(即点落在图中阴影部分)，首先设置n＝0，m＝0；

第二步，用变换rand(　　) 2－1产生－1 1之间的均匀随机数x表示所投点的横坐标，用变换rand(　　) 2产生0 2之间的均匀随机数y表示所投点的纵坐标；

第三步，判断点是否落在阴影部分，即是否满足y＜2x，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变；

第四步，表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要试验，则返回步骤第二步继续执行，否则结束．程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．

设阴影部分的面积为S，正方形面积为4，由几何概型概率计算公式得，P(A)＝，所以≈，故可作为阴影部分面积S的近似值．

【练习反馈】

1．要产生[－3,3]上的均匀随机数y，现有[0,1]上的均匀随机数x，则y不可取为(　　)

A．－3x　　　　　　　 　B．3x

C．6x－3   D．－6x－3

解析：选D　法一：利用伸缩和平移变换进行判断，法二：由0≤x≤1，得－9≤－6x－3≤－3，故y不能取－6x－3.

2．设x，y是两个[0,1]上的均匀随机数，则0≤x＋y≤1的概率为(　　)

A.    B.

C.   D.

解析：选A　如图所示，所求的概率为P＝＝.

3．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝6(b1－0.5)，则b是        上的均匀随机数．

解析：∵b1∈[0,1]，

∴b1－0.5∈[－0.5,0.5]，

∴6(b1－0.5)∈[－3,3]．

答案：[－3,3]

4．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有        分钟广告．

解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率约为，则看到广告的概率约为，故60×＝6(分钟)．

答案：6

5．如图所示，向边长为2的大正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的小正方形中的概率．(假设飞镖全部落在大正方形内)

解：用几何概型概率计算公式得P＝＝.用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：

第一步，用计数器n记录做了多少次投飞镖的试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，设置n＝0，m＝0；

第二步，用函数rand(　) 4－2产生两个－2 2之间的均匀随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；

第三步，判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1，否则m的值保持不变；

第四步，表示随机试验次数的计数器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤第二步继续执行，否则，程序结束．

程序结束后飞镖投在小正方形内的频率作为所求概率的近似值．