2019届二轮复习常考题型答题技巧概率的基本性质学案（全国通用）

2019届二轮复习  常考题型答题技巧   概率的基本性质 学案 （全国通用）

【知识梳理】

1．事件的关系及运算

2．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围[0,1]．

(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.

(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．

P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.

【常考题型】

题型一、事件间关系的判断

【例1】　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”．

[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．

(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．

(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

【类题通法】

判断事件间关系的方法

(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．

(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．

【对点训练】

从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1 10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．

解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.

题型二、事件的运算

【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝，事件B＝，事件C＝，事件D＝.

问：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

[解]　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故C∩A＝A.

【类题通法】

进行事件运算应注意的问题

 (1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．

(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．

【对点训练】

在本例中，设事件E＝，事件F＝

，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？

解：C＝A∪B∪E；C∩F＝A∪B.

题型三、互斥事件与对立事件的概率公式的应用

【例3】　在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80 89分的概率是0.51，在70 79分的概率是0.15，在60 69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：

(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；

(2)小王数学考试及格的概率．

[解]　设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80 89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A、B、C，且A，B，C两两互斥．

(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.

(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.

【类题通法】

概率公式的应用

(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．

(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．

【对点训练】

一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．

解：法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．

∴任取1球得红球或黑球的概率为

P1＝＝.

(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝.

法二：(利用互斥事件求概率)

记事件A1＝，A2＝，

A3＝，A4＝，则P(A1)＝，P(A2)＝，

P(A3)＝，P(A4)＝.

根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

(1)取出1球为红球或黑球的概率为

P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.

(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为

P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)

＝＋＋＝.

法三：(利用对立事件求概率)

(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为

P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)

＝1－－＝＝.

(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.

所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.

【练习反馈】

1．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中错误的是 (　　)

A．A与C互斥　　　　　　 　B．B与C互斥

C．任何两个都互斥   D．任何两个都不互斥

解析：选D　由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．

2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)

A．至多有2件次品   B．至多有1件次品

C．至多有2件正品   D．至少有2件正品

解析：选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．

3．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为        ．

解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.

答案：

4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15,0.20,0.45，则不中靶的概率是        ．

解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C互斥，故射手中靶概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.80＝0.20.

答案：0.20

5．黄种人群中各种血型的人所占比例如下：

已知同种血型的人之间可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，则：

(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，得

P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，

P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.

因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给小明血的人”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′∪D′)＝P (B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.

(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给小明的人”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.

法二：因为任找一个人，其血要么可以输给小明，要么不可以输给小明，两者互为对立事件，所以不能输给小明的概率为1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.