2019届二轮复习（文）第十章第2节　排列与组合学案（全国通用）

第2节　排列与组合
最新考纲　1.了解排列、组合的概念；2.会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题．

　　　　　　　　　　　　　　　知 识 梳 理
1．排列与组合的概念
名称
定义

排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
(2)C＝＝
＝(n，m∈N ，且m≤n)．特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！
(2)C＝C；C＝C＋C

[常用结论与微点提醒]
1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
2．排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；
(10)正难则反，等价条件．
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)
(4)kC＝nC.(　　)
解析　元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若C＝C，则x＝m或n－m，故(3)不正确．
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)
A．12 B．24 C．64 D．81
解析　4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A＝24.
答案　B
3．(一题多解)(选修2－3P28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)
A．18 B．24 C．30 D．36
解析　法一　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种．
法二　从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30.
答案　C
4．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 (用数字作答)．
解析　末位数字排法有A，其他位置排法有A种，共有AA＝48种．
答案　48
5．(一题多解)某市委从组织机关10名 员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 (用数字作答)．
解析　法一　(直接法)甲、乙两人均入选，有CC种．
甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，
∴由分类加法计数原理，共有CC＋CC＝49(种)选法．
法二　(间接法)从9人中选3人有C种方法．
其中甲、乙均不入选有C种方法，
∴满足条件的选排方法是C－C＝84－35＝49(种)．
答案　49
6．(2018·绍兴测试)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有 个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有 个．
解析　用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A＝720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有AA＝144个．
答案　720　144

考点一　排列问题
【例1】 3名女生和5名男生排成一排．
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？
(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？
(3)(一题多解)如果女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙前面(可不相邻)，有多少种排法？
(5)(一题多解)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
解　(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320(种)不同排法．
(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法．
(3)法一　(位置分析法)　因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法．
法二　(元素分析法)　从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法．
(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，
∴符合要求的排法种数为A＝20 160(种)．
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
法一　(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种；
甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种；
而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种；
其余6个人进行全排列，有A种．共有A·A·A种．
由分类加法计数原理，共有A＋A·A·A＝30 960(种)．
法二　(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝
30 960(种)．
法三　(间接法)8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种．因此共有A－2A＋A＝30 960(种)．
规律方法　(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
【训练1】 (1)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有(　　)
A．30种 B．600种 C．720种 D．840种
(2)(2018·绍兴调测)将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为 (用数字作答)．
解析　(1)若只有甲、乙其中一人参加，有CCA＝480种方法；若甲、乙两人都参加，有CCA＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C.
(2)依题意，可分两种情况讨论：①3个男同学互不相邻：先将3名女同学全排列，有A种排法，在排好后的4个空位中任选3个安排3个男同学，有A种方法，此时共有AA＝144种不同的排法；②另2个男同学相邻：将这两个男同学看作一整体，考虑两人的左右顺序，有A种情况，再将3名女同学全排列，有A种排法，在排好后的4个空位中任选2个安排甲和这2个男同学，有A种方法，此时共有AAA＝144种不同的排法．则共有144＋144＝288种不同的排法．
答案　(1)C　(2)288
考点二　组合问题
【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种．
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555种．
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090种．
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
规律方法　组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【训练2】 (1)(2018·浙江名校三联)从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是(　　)
A．72 B．70 C．66 D．64
(2)(2017·湖州质检)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
解析　(1)从该集合中任选3个不同的实数，有C种方法；其中选取的3个数互不相邻的选法种数是C(看作把3个不同的元素插入已排好顺序的7个不同元素所形成的8个空位上的方法种数)，故所求的选法种数是C－C＝64.
(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C＋C＋CC＝66(种)．
答案　(1)D　(2)D
考点三　排列、组合的综合应用
【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解　(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC×A＝144(种)．
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
(3)确定2个空盒有C种方法．
4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法．故共有C＝84(种)．
规律方法　(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异．其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．
【训练3】 (1)(2018·稽阳联谊学校联考)将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是 (用数字作答)．
(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种(用数字作答)．
解析　(1)共可分为两类：每组分别为3，3，1人，则有＝70种；每组分别为3，2，2人，则有＝105种；所以共有70＋105＝175种分组方法．
(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.
答案　(1)175　(2)60

基础巩固题组
一、选择题
1．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)
A．24 B．48 C．60 D．72
解析　由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72，故选D.
答案　D
2．(一题多解)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有(　　)
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
解析　法一　(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法．由分类加法计数原理知共A＋CA＝60(种)方法．
法二　(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60(种)．
答案　D
3．(2018·台州调考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(　　)
A．240种 B．180种 C．150种 D．540种
解析　5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有CCA＝90种方法；当5名学生分成3，1，1时，共有CA＝60种方法．根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．
答案　C
4．(2018·金华一中模拟)2017年5月北京“一带一路”高峰论坛期间，有甲、乙、丙、丁、戊共5国领导人要去3个分会场发言(每个分会场至少1人)，其中甲和乙要求不在同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，则不同的安排方案共有(　　)
A．27种 B．30种 C．33种 D．36种
解析　因为甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一分会场，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案．(1)2，2，1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，剩下的一人一组，有CA＝18种；(2)3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲、丙组成一组，剩下两人分别一组，有CA＝12种，所以不同的安排方案有18＋12＝30种，故选B.
答案　B
5．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
解析　分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法．依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42种编排方案．
答案　B
6．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法种数为(　　)
A．10 B．16 C．20 D．24
解析　一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法．
答案　C
7．(一题多解)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72 B．120 C．144 D．168
解析　法一　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□，小品1，歌舞1，小品2，□，相声，□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□，小品1，□，相声，□，小品2，□”．有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．
法二　先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．
答案　B
8．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
解析　一个路口有3人的分配方法有CCA(种)；两个路口各有2人的分配方法有CCA(种)．
∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CCA＋CCA＝36(种)．
答案　C
二、填空题
9．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有 种排法(用数字作答)．
解析　先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C＝20(种)．
答案　20
10．(2017·余姚质检)3男3女共6名学生排成一列，同性者相邻的排法种数有 ；任两个女生不相邻的排法种数有 (均用数字作答)．
解析　分别把3男3女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排，3男3女内部也要全排，故有AAA＝72种；把3名女学生插入到3名男学生排列后所形成的4个空中的3个，故有A·A＝144种．
答案　72　144
11．(2018·宁波调研)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有 种(用数字作答)．
解析　由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A＝20种排法，其余5人再进行排列，有A＝120种排法，∴根据分步乘法计数原理知共有20×120＝2 400种安排方法．
答案　2 400
12．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法(用数字作答)．
解析　不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，
而没有女生的选法有AC种，
故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．
答案　660
13．根据2017年浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考 目之外，有3门选考 目，并且每门选考 目都有2次考试机会，每年有2次考试时间．某学生为了取到最好成绩，将3门选考 目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次最多考2门，则这位学生共有 种不同的考试安排方法(用数字作答)．
解析　将3门选考 目的每一门学 的2次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，故有(C)3＝216种不同的考试安排方法．依题意必须排除1次考试中同时考3门 目的情况，那么4次考试中有同时考3门 目的考试安排为3，1，1，1；3，2，1，0；3，3，0，0，共3类，共有A＋CA＋C＝102种不同的考试安排方法．因此，将3门选考 目共6次机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次最多考2门的不同考试安排方法共有216－102＝114种．
答案　114
能力提升题组
14．三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是(　　)
A．72 B．144 C．240 D．288
解析　第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2种排法，故有CA＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有CAC＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A＝6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288种，故选D.
答案　D
15．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)
A．60 B．90 C．120 D．130
解析　因为xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，
所以xi中至少两个为0，至多四个为0.
①xi(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C个元素；
②xi中3个0，2个为－1或1，A有C×2×2＝40个元素；
③xi中2个0，3个为－1或1，A有C×2×2×2＝80个元素；
从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．
答案　D
16．(2018·湖州调研)A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有 种(用数字作答)．
解析　先排C，D，E学生，有A种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A－A种坐法，则共有
A(A－A)＝60种坐法．
答案　60
17．(2017·诸暨模拟)从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字，组成一个没有重复且能被3整除的四位数，则这样的四位数共有 个(用数字作答)．
解析　根据题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除，则选出的四个数字有5种情况，①1，2，4，5；②0，3，4，5；③0，2，3，4；④0，1，3，5；⑤0，1，2，3；
①时，共可以组成A＝24个四位数；
②时，0不能在首位，此时可以组成3×A＝3×3×2×1＝18个四位数，
同理，③，④，⑤时，都可以组成18个四位数，
则这样的四位数共24＋4×18＝96个．
答案　96
18．(2018·浙东北教联一模)教育装备中心新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请．鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给这两校每校至少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配方案有 种(用数字作答)．
解析　由已知，即剩下3台分给5个学校，有三种分法，一是都给一个学校，有5种方法，二是分给两个学校，一个2台另一个1台，有CC＝20种，三是分给三个学校，每校一台，有C＝10种，所以，不同的分配方案种数为5＋20＋10＝35.
答案　35