2019届二轮复习（文）第十章第3节　二项式定理学案（全国通用）

第3节　二项式定理
最新考纲　1.了解二项式定理；2.理解二项式系数的性质．

知 识 梳 理
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N )；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2．二项式系数的性质

性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式
系数C
当k＜(n∈N )时，是递增的
当k＞(n∈N )时，是递减的
二项式
系数最大值
当n为偶数时，中间的一项Cn取得最大值
当n为奇数时，中间的两项Cn与Cn取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
[常用结论与微点提醒]
1．二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　)
解析　二项式展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确．
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)
A．C B．C
C．C D．(－1)m－1C
解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.
答案　D
3．(选修2－3P35练习T1(3)改编)
的值为(　　)
A．2 B．4
C．2 017 D．2 016×2 017
解析　原式＝＝22＝4.
答案　B
4．(1＋x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝
．
解析　(1＋x)n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以＋1＝6，n＝10.
答案　10
5.展开式中的常数项为 ．
解析　Tk＋1＝C(x2)5－k＝C(－2)kx10－5k.令10－5k＝0，则k＝2.∴常数项为T3＝C(－2)2＝40.
答案　40
6．(2018·金华质检)的展开式中，第4项的二项式系数是 ，第4项的系数是 ．
解析　展开式通项为Tr＋1＝Cx2(9－r)
＝(－1)rCx18－3r(其中r＝0，1，…，9)，
∴T4＝(－1)3Cx9，
故第4项的二项式系数为C＝84，第4项的系数为
(－1)3C＝－.
答案　84　－

考点一　求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】 已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解　(1)通项公式为
Tk＋1＝Cxx－＝Cx.
因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝2，
故含x2的项的系数是C＝.
(3)根据通项公式，由题意
令＝r (r∈ )，则10－2k＝3r，k＝5－r，
∵k∈N，∴r应为偶数．
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为x2，－，x－2.
规律方法　(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
【训练1】 (1)(一题多解)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．60
(2)(2017·全国Ⅰ卷)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20 C．30 D．35
(3)(2016·全国Ⅰ卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是 (用数字作答)．
解析　(1)法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积．
∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为CCC＝30.
(2)(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋·(1＋x)6，
对(1＋x)6的x2项系数为C＝＝15，
对·(1＋x)6的x2项系数为C＝15，
∴x2的系数为15＋15＝30，故选C.
(3)由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝
25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.
答案　(1)C　(2)C　(3)10
考点二　二项式系数的和与各项的系数和问题
【例2】 在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，( )
各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于( )是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.
(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
∴奇数项系数和为；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
∴偶数项系数和为.
(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
规律方法　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【训练2】 (1)(2017·义乌调研)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)
A．1 024 B．243 C．32 D．24
(2)(2018·杭州模拟)若的展开式中所有二项式系数和为64，则n＝ ；展开式中的常数项是 ．
解析　(1)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.
(2)由的展开式中所有二次项系数和为64，得2n＝64，n＝6，则展开式第r＋1项是Tr＋1＝C(2x)6－r＝C·26－r×(－1)rx6－3r，当r＝2时为常数项，则常数项是C×24×(－1)2＝15×16＝240.
答案　(1)A　(2)6　240
考点三　二项式定理的应用
【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N )能被31整除；
(2)用二项式定理证明2n>2n＋1(n≥3，n∈N )．
证明　(1)∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝
＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1
＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，
显然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C为整数，
∴原式能被31整除．
(2)当n≥3，n∈N 时，
2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C≥C＋C＋C＋C＝2n＋2>2n＋1，∴不等式成立．
规律方法　(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项．而求近似值则应关注展开式的前几项．
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．
(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．
【训练3】 求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数．
解　S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1
＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1
＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2.
∵C×98－C×97＋…＋C是整数，
∴S被9除的余数为7.

基础巩固题组
一、选择题
1．(2018·衢州质检)二项式(1＋2x)4展开式的各项系数的和为(　　)
A．81 B．80 C．27 D．26
解析　令x＝1得二项式(1＋2x)4的展开式的各项系数之和为(1＋2)4＝81，故选A.
答案　A
2．二项式的展开式的第二项的系数为－，则a的值为(　　)
A. B．－1 C．3 D.
解析　∵Tr＋1＝C(ax)6－r＝Ca6－r·x6－r，
∴第二项的系数为Ca5·＝－，∴a＝－1.
答案　B
3．(2018·台州调考)已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为(　　)
A．270x－1 B．270x C．405x3 D．243x5
解析　令x＝1，则(a－1)5＝32，解得a＝3，即的展开式中共有6项，其中奇数项为正数，偶数项为负数，所以比较奇数项的系数，分别为C(3x)5＝243x5，C(3x)3＝270x，C(3x)＝，所以系数最大的项为270x，故选B.
答案　B
4．(2018·宁波十校适应性考试)(x2－1)的展开式的常数项为(　　)
A．112 B．48 C．－112 D．－48
解析　原式的展开式的常数项包括x2×C××(－2)3＋(－1)×C×(－2)5＝－48，故选D.
答案　D
5．(一题多解)(2018·湖州调研)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．121 B．－74 C．74 D．－121
解析　法一　展开式中含x3的项的系数是－C－C－C－C＝－10－20－35－56＝－121，故选D.
法二　(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝，则展开式中含x3的项的系数是C－C＝5－126＝－121，故选D.
答案　D
6．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．63 B．64 C．31 D．32
解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.故选A.
答案　A
7．(2017·宁波十校联考)设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…a5x5，那么(a1＋a3＋a5)2－(a0＋a2＋a4)2的值为(　　)
A．32 B．－32 C．243 D．－243
解析　∵(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
∴令x＝1，有a0＋a1＋…＋a5＝1，
再令x＝－1，有a0－a1＋…－a5＝35＝243，
∴(a1＋a3＋a5)2－(a0＋a2＋a4)2＝－(a0＋a2＋a4＋a1＋a3＋a5)(a0＋a2＋a4－a1－a3－a5)＝－243.
答案　D
8．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为(　　)
A．－210 B．210 C．30 D．－30
解析　(x2－x＋1)10＝[(x2－x)＋1]10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2－x)10－r，对于(x2－x)10－r的通项公式为Tr′＋1＝(－1)r′Cx20－2r－3r′.令20－2r－r′＝3，根据0≤r′≤10－r，r，r′∈N，解得或∴(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为CC(－1)＋CC(－1)＝－90－120＝－210.
答案　A
二、填空题
9．(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝ ．
解析　(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r，令r＝2，得T3＝C(3x)2＝54x2，由题意得9C＝54，解得n＝4.
答案　4
10．若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝ (用数字作答)．
解析　的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·x－＝Ca5－r·x10－，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.
答案　－2
11．(2018·舟山月考)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝ (用数字作答)．
解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，展开式的通项为Tk＋1＝C(1＋x)5－k·(－1)k，令5－k＝3，则k＝2，∴T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.
答案　10
12．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a0＝ ；a2＋a4＋…＋a12＝ (用数字作答)．
解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.令x＝0，得a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.
答案　1　364
13．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝ ，a5＝ ．
解析　令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，
而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]
＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；
则a4＝C＋2C＋C＝5＋8＋3＝16.
答案　16　4
能力提升题组
14．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N )是一个单调递增数列，则k的最大值是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析　由二项式定理知an＝C(n＝1，2，3，…，n)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项．∴a6＝C，则k的最大值为6.
答案　B
15．设a∈ ，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
解析　∵512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C·522 016－C·522 015＋C·522 014＋…－C·52＋1＋a能被13整除，且0≤a<13，∴1＋a能被13整除，故a＝12.
答案　D
16．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋
f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A．45 B．60 C．120 D．210
解析　在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
答案　C
17．已知二项式的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数为 ．
解析　由已知得＝64，所以n＝6.展开式的通项为Tr＋1＝3rCx3－r，令3－r＝1得r＝2，所以x的系数为9C＝135.
答案　135
18．(2017·绍兴调研)已知f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，且(2x－3)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n.
(1)a2的值为 ；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋an的值为 ．
解析　(1)由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，∴n＝9.
∵(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，
∴a2＝C·(－1)7·22＝－144.
(2)在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝1，可得a0＝
－1.
再令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋an＝2.
答案　(1)－144　(2)2