2019届二轮复习概率与统计学案（全国通用）

【考情概览】

【应试策略】

1.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为(     )

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【应试策略】

1. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的 抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．

件的对立事件的概率.     

对于个互斥事件，其加法公式为.

分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.

5.对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．

6.实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查生思维的灵活性和解决实际问题的能力．

7.求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：

(1)列举法；

(2)列表法；

(3)利用树状图列举．

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．

2.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点骑游（各组一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为， ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为， ；两人租车时间都不会超过四小时.

（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由题意可得，甲、乙使用时间情况，

试题解析：（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为， ．

记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．

所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为．

（2）设甲、乙两个所付的费用之和为， 可能取得值为0，2，4，6，8

， ， ，   ]

， ，

分布列

【应试策略】

1. 求分布列的三种方法

(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．

(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．

(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．

2. 求离散型随机变量分布列的步骤

(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；

(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；

(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．

3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路

 (1)明确随机变量可能取哪些值．

(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．

(3)根据分布列和期望、方差公式求解．

3.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：

（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（2）“星队”两轮得分之和为的分布列和数期望.

（2）由题意，随机变量的可能取值为.由事件的独立性与互斥性，

得 ，，

，

， ，

.

可得随机变量X的分布列为

所以数期望.

【应试策略】

1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；    ]

(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；

(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．     

【真题展示】

一、选择题

1.【2018年，浙江卷7】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是（    ）

则当p在（0，1）内增大时，

A．D（ξ）减小       B．D（ξ）增大

C．D（ξ）先减小后增大     D．D（ξ）先增大后减小

【答案】D

【解答】，

     ，

所以当在内增大时，先增大后减小，故选D.

2.【2017年，浙江卷8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1–pi，i=1，2． 若0<p1<p2<，则

A．<，<   B．<，>

C．>，<   D．>，>

【答案】A

【解析】试题分析：∵，∴，

∵，∴，故选A．

【考点】 两点分布

【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布数期望与方差的公式可得A正确．

3.【2011年.浙江卷.理9】有5本不同的书，其中语文书2本，数书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一 目的书都不相邻的概率[

（A）          （B）         （C）           D

【答案】B

4. 【2014年.浙江卷.理9】.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.

（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；

（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.

则

1.                 B.

C.                D.

【答案】Ｃ

【考点】独立事件的概率,数期望.      

 5.【2011年.浙江卷.文8】从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是

（A）             （B）        （C）      （D）

【答案】D

【解析】无白球的概率是，至少有1个白球的概率为，故选D

二、填空题

1.【2014年.浙江卷.理12】随机变量的取值为0,1,2，若，，则        .

【答案】

【解析】设时的概率为，则，解得，故

【考点】方差.

2.【2011年.浙江卷.理15】某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数期望    

3.【2014年.浙江卷.文14】在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为           .

【答案】

【解析】

试题分析：基本事件的总数是，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖只有2种情况，由古典概型公式知，所求的概率.

【考点】古典概型，容易题.

4.【2013年.浙江卷.文12】从3男3女共6名同中任选2名(每名同被选中的机会均等)，这2名都是女同的概率等于          ．

【答案】

5.【2012年.浙江卷.文11】某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为          ．

【答案】160

【解析】根据分层抽样的特点，此样本中男生人数为．     

6.【2012年.浙江卷.文12】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是          ．

【答案】

【解析】五点中任取两点的不同取法共有种，而两点之间距离为的情况有4种，故概率为．

7.【2011年.浙江卷.文13】某小为了解生数课程的习情况，在3000名生中随机抽取200名，

并统计这200名生的某次数考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图推

测3000名生在该次数考试中成绩小于60分的生数是       .

【答案】600

【解析】由直方图易得数考试中成绩小于60分的频率为（0.002+0.006+0.012）×10=0.2，

∴所求分数小于60分的生数为3000×0.2=600.

8.【2010年.浙江卷.文11】在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是            、             

【答案】45；46，

【解析】甲的中位数45；乙的中位数为46，本题主要考察了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力，属容易题。

9.【2009年.浙江卷.文14】某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为          ．

【答案】 30

【解析】对于在区间的频率/组距的数值为，而总数为100，因此频数为30

10.【2010年.浙江卷.文17】在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为       。

【答案】

11.【2009年.浙江卷.文17】有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，其中．从这张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到

标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于”为，则          ．   

【答案】

【解析】对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即，而基本事件

有20种，因此 w

三、解答题

1.【2013年.浙江卷.理19】(本题满分14分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；     

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.

【答案】

所以ξ的分布列为

(2)由题意知η的分布列为

所以E(η)＝，

D(η)＝，

化简得

解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.

2.【2012年.浙江卷.理19】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．

(1)求X的分布列；

(2)求X的数期望E(X)．

【答案】（1）X的分布列为

（2）

【解析】(1)由题意得X取3,4,5,6，且

所以X的分布列为

(2)由(1)知E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝．

3.【2010年.浙江卷.理19】(本题满分l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．

（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50 ，70 ，90 ．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；

(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求．

【答案】（I）详见解析； (II)  

则Εξ=×50 +×70 +90 =.

（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.     

由题意得η （3，）

则P（η=2）=()2(1-)=.

4.【2009年.浙江卷.理19】（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．

（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；

（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数

和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数期望．

【对症下药】

一、求离散型随机变量取值的方法

求离散型随机变量的可能取值，要设出随机变量，弄清试验可能出现的结果，将它们用数表示出来。

二、用模型化思想解决超几何分布问题

1.对于超几何分布的概率公式，不要死记硬背，应结合实例，理解其意义，弄清参数，，之间的关系。

2.应用超几何分布，首先要分析题意，确定所给问题是否是超几何分布类问题，若是超几何分布类问题，则写出，，的取值，然后利用超几何分布求出相应的概率，写出其分布列。

三、条件概率的求解方法

1.要求条件概率，必须理解条件概率的定义及公式，公式中是指事件和同时发生的概率。因此习中要结合例题去体会求条件概率的方法及公式的应用，不能仅去记忆公式，如何求出是关键。

2.条件概率的判断。题目中出现已知“在某个前提下（条件下）”等字眼时，一般为求条件概率。题目中没有出现上述明显字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也为条件概率，如从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，其中1张放到验钞机上发现是假钞，求2张都是假钞的概率。题目中没有明显的条件提示，但“其中1张放到验钞机上发现是假钞”，此事件的出现影响了所求事件的概率，故此题为条件概率问题。

3.求条件概率的方法，对于古典概型的题目，可采用缩小基本事件空间的方法来计算条件概率。如甲、乙两车间各生产50件产品，其中分别含有次品3件与5件，现从这100件产品中任取1件，在已知取到甲车间产品的条件下，求取得次品的概率，基本事件空间总数为50，基本事件个数为3，，还可直接根据条件概率公式求解。

四、互斥事件与相互独立事件概率的求法

1.弄清事件间的“互斥”与“相互独立”的区别，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

2.理解并运用相互独立事件的性质。如果事件与相互独立，那么下列各对事件：与、与、与也都相互独立。

3.牢记公式的应用条件，准确、灵活地运用公式。

4.认真审题，找准关键字句，提高解题能力，如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等。

5.求相互独立事件的概率，首先要分析题意，判断所给事件是否相互独立，然后选用公式求解，在具体问题题，常常与互斥事伯、古典概型等联系在一起，要注意正确地选择解题方法。

说明

五、独立重复试验与二项分布概率的方法

1.习独立重复试验，要弄清它的条件，在求独立重复试验的概率时，要明确参数，的取值。

2.两点分布与二项式分布的区别与联系，在二项分布中，次独立重复试验各次试验的条件相同，对每次试验来说，只考虑两个可能的结果：发生与不发生，或者说每次试验服从相同的两点分布。

3.独立重复试验是同一试验的次重复，每次试验结果的概率不受其他结果的概率的影响，每次试验有两种可能的结果：成功或失败，正确理解其条件以及参数， ，的意义是运用公式求解的前提。一般地，对含有“恰好”“恰有”字样的问题往往考虑用独立重复试验模型解决。

【考题预测】

1.在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题。甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响。

⑴记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为           ；

⑵记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为         ．

【答案】 

∴X的分布列为：

（2）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，乙能正确完成每道题的概率为 ,且每道题完成与否互不影响，

由题意Y的可能取值为0，1，2，3，且 ,

或．

2.随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝ （n＝1,2,3,4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（  ） 

A.          B.           C.            D.

【答案】D

3.某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取部进行测试，其结果如下：

（1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好；

（2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述部乙种手机中随机抽取部，记所抽部手机供电时间不小于小时的个数为，求的分布列和数期望.      

【答案】（1）甲种手机电池质量更好(2)  

因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好.

（2）部乙种手机供电时间不小于小时的有部，小于小时的有部，所以得可能取值为，则，

故得分布列为

所以.

4.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．

（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；

（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数期望．

所以，随机变量的分布列为:

．

5.医上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标和．现有三种不同配方的药剂，根据分析，三种药剂能控制指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制指标的概率分别是0.6， 0.5，0.4，能否控制指标与能否控制指标之间相互没有影响．

（Ⅰ）求三种药剂中恰有一种能控制指标的概率；

（Ⅱ）某种药剂能使两项指标和都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数的分布列．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

（Ⅱ）∵有治疗效果的概率为，有治疗效果的概率为

，有治疗效果的概率为，

∴三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验，

即，

∵的可能取得为，

∴，即

，

，

，

故的分布列为