2019届二轮复习概率与统计学案（全国通用）
展开第十六讲 概率与统计
一、知识方法拓展
1、 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称下表为随机变量的概率分布，简称为的分布列。
… | … | ||||
… | … |
2、 数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为
… | … | ||||
… | … |
则称为的数学期望（平均数，均值），简称为期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若（二项分布），则。
二、热身练习
1、（武大）口袋里装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中随机摸出一个球，摸出红球的概率为，摸出白球或红球的概率为，那么摸出黑球的概率是 。
【详解】易知摸出黑球是摸出白或红的对立事件，即摸出黑球的概率是 。
2、（南大）设A、B是随机事件，且，，，则 。
【详解】易知，故，而。
3、（08复旦）一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为。将这批衬衣逐渐检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】看到“至少”字眼，从反面入手更容易，没有一件二等品的概率为，则至少有一件二等品的概率为，故选A。
4、（09华南理工）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲：平均能赢两盘，某日，甲、乙进行五打三胜制比赛，那么甲胜出的概率为 。
【详解】甲胜出有三种情况，1、连胜三局， ；2、第四局胜出， ；3、第五局胜出，，则甲胜出的概率为 。
三、真题精讲：
例1、（1）（09复旦）某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为，现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】首先要经过两次分裂，再考虑细胞存活，两个条件缺一不可，而两个细胞比较麻烦，我们可以先从一个细胞入手。
【详解】一个细胞经过两次分裂还有存活即第一次分裂，分裂得的两个细胞中至少有一个分裂了，即；则两个细胞至少一个两次分裂后还有存活的概率是，故选A。
（2）（2013复旦）一幢楼房共有11层，从一楼出发，有三名乘客，每人在每一层出电梯的概率相同，问三名乘客在不同层出电梯的概率（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
【详解】三名乘客分别在2~11层共10层中选一层出电梯，而易知每人在每一层出电梯的概率是，则三名乘客在不同层出电梯的概率是。
例2、（2012华约）系统内有个元件，每个元件正常工作的概率为，，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率，并讨论的单调性。
【解析】系统正常工作情况比较多，只需个元件正常工作都可以，列式不难，本题考点在于运算能力。
【详解】易知,而，
所以
，
即当时，递增，当时，递减。
例3、（11华约）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷次不连续出现三次下面向上的概率为，
（1） 求和；
（2） 写出的递推公式，并指出单调性；
（3） 是否存在？有何统计意义。
【解析】观察本题，易发现关键在于发现的递推关系，因此解题的方向即寻找与等项的关系，而自招考试递推阶数不限于一阶，因此思路中需要包含可能出现二阶甚至三阶递推的准备。
【详解】（1）易知，，而投掷四次时若出现连续三次下面向上，即前三次或后三次或四次都是，故。
（2）当第次不为下面向上时，只需前次没出现；当第次是下面向上时，若第次不是下面向上，只需前次没出现，若次是下面向上，则次比须不是下面向上，只需前次没出现。
综上，；概率显然单调递减。
（3）存在为0，当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于0。
例4、（2013华约）口袋中有7个黑球和8个红球，一次从中取出4个，
（1）求恰有1个红球的概率；
（2）设取出的黑球数为，求的分布列和；
（3）如果要求取出的4个球均同色，计算取出的球全是黑球的概率。
【解析】本题考查随机变量的分布列及数学期望，难度一般。
【详解】（1）取出的4个球恰有个红球的概率；
（2） ，
。
（3）若取出的4个球全是同色，是黑球的概率为。
例5、（2012卓越），求：（1），有交点的概率；（2）求交点个数的数学期望。
【解析】本题将概率与平面几何相结合，灵活性变大，但本质不变，直线与圆有交点依然是圆心到直线的距离做为运算标准，概率与期望的计算也属常规，以平常心对待即可。
【详解】（1）圆心到直线的距离为，即，故不可取的值是共6种，故可取的有种，故；（2）设为交点个数，则相切时只有1个交点，即，，相交时，则。
例6、（10五校）已知基因型为的比例为，且。
（1） 求子一代的比例；
（2） 子二代与子一代比例是否相同？
【解析】由题意知各种基因型出现的概率即，则由生物学上基因遗传的法则，易知出现子一代三种基因型的方法如下：，，，且基因型提供下一代的一定是，基因型提供下一代的一定是，而基因型提供下一代的的概率是，的概率是。
【详解】（1）子一代为的概率为：；为的概率为；为的概率为，即比例为；
（2）记，，，则。记，，，则由（1）的结论可知则子二代的比例为，代入运算可得，即与子一代比例相同。
四、重点总结
概率与统计中考查形式多有不同，概率部分考查与排列组合相结合，考查小题居多，需要注意的是理科拓展部分中独立事件积的概率；而统计中考查重点则多为随机变量分布列及其数学期望。
五、强化训练
A组
1、（交大）6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。
【详解】本题从反面考虑，如不打扰其余同学，则只有两边的同学先交卷，即。
2、（交大）甲乙两厂生产同一种商品，甲厂生产的此商品占市场上的，乙厂生产的占；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%，若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 。
【详解】。
3、（09科大）已知正方体各个面的中心，甲乙分别相互独立地从这6个点中取出3个，则构成两个三角形全等的概率是 。
【详解】这6个点组成的等边三角形有8个，等腰直角三角形有12个，故构成两个三角形全等的概率是。
4、（武大）某工厂新招了8名工人，其中有2名车工和3名钳工，现将这8名工人平均分配给甲、乙两个车间，那么车工和钳工均不能分配到同一个车间的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】车工一边一个，而钳工则有一边是2个，故，故选C。
5、（复旦）设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为1：3。已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为。则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】设甲袋中有个球，则乙中个球，甲中红球个，而总红球个数为，则乙中红球个数为，则乙袋中摸到红球的概率的概率为，故选A。
6、（2012复旦）随机任取一个正整数，则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】只有个位为1的数的3次方的个位才是1，而当个位为1时，只有十位为7时，3次方的十位是1，故所有的正整数中，只有最后两位是71时才满足题意，即概率为，故选D。
7、（11复旦）在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】为使出现锐角三角形，三边对应的圆周角都小于90度，即，建立以为三轴的空间直角坐标系，则平面在第一卦限内满足三个不等条件（即一个边长为90的正方体内部）的部分为，故选C。
8、（武大）从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中，
（1）求箱子中两球都是红球的概率；
（2）记“从箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有两次取到红球的概率。
【详解】（1）；（2）取出的两球必须是一红一白，。
B组
1、（清华）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机、B影碟机、C线路、D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示。能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果。
求：（1）能听到立体声效果的概率；
（2）听不到声音的概率。
【详解】（1）；
（2）。
2、（10浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：
（1） 第一局甲胜的概率；
（2） 第局甲胜的概率。
【详解】（1）；
（2）设第局甲胜的概率为，则，又，用待定系数法易知。
3、（09清华）随机挑选一个三位数I。
（1）求I含有因子5的概率；
（2）求I中恰有两个数码相等的概率。
【详解】（1）含有因子5的三位数共有个，而三位数共900个，从而概率为；（2）若不含0，设两个数码为且不相等，则三位可能为共6种情况，此时共有个；若含有0，当0有2个时，显然只有9个符合题意；当0只有一个时，有个满足题意，故共有个三位数，概率为。
4、（11卓越）一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为。
（1） 求的数学期望；
（2） 设，求；
（3） 证明：的数学期望。
【详解】（1）可能的取值为或，分别对应的概率为和，即；
（2）若，则或，故；
（3），即。
5、（10清华特色考试）在蒲丰投针试验中，平行线间距为，针长为，试求针与线相交概率与的关系，并求什么情况下概率是。
【详解】令M表示针的中点，表示针投在平面上时，M与最近一条平行线的距离，表示针与最近一条平行线的交角，显然。
则的图像为一个矩形，而是针与平行线相交的充分必要条件，故只需在矩形中满足上面不等式的面积即满足条件，故，即，即。
