2019届二轮复习集合、简易逻辑、函数与导数5学案（全国通用）
展开第五讲 导数的综合运用
一、考点考频考法分析：
考点 | 考频 | 考法 | |
模型1 | 讨论函数零点个数（或方程根的个数、两曲线公共点个数） | 14年12T 15年21T 16年21T
| 1、依据函数性质求参数的值或范围（三种类型）：求参数值需要构建含参方程，求参数范围需要构建含参不等式，这里体现了构造思想。类型一：根据单调性求参数的值或取值范围（①分离参数法；②子集思想：转化为集合的包含关系；③根的分布理论：讨论极值点、区间端点函数值、对称轴等的位置关系）；类型二：不等式恒成立、能成立、恰成立问题中求参数取值范围； 类型三：已知函数零点个数求参数的取值范围（通过研究函数的性质画出函数的大致图象，数形结合（一动一静）求参数取值范围，画函数大致图象时，需要注意边界、端点、极值，涉及到渐近线，可以用一点极限思想） 2、讨论函数零点个数（或方程根的个数、两曲线公共点个数）三部曲：①将问题转化为函数图象与轴(或直线，)在该区间上的交点问题；②利用导数研究该函数在该区间上的点单调性、极值（最值）、端点值、渐近线等性质，进而画出函数的大致图象（特殊情况下需要二次求导）③结合图象利用运动变化的观点进行求解. 3、利用零点构造函数证明不等式：利用导数法证明不等式在区间D上恒成立的基本方法是构造函数，其中一个重要技巧是找到函数在什么时候可以等于零，这需要较强的观察能力，另一个重要技巧是对不等式做进一步的分离，使参数和变量分离开，或者相同的变量（同类项）分离到等号的同一边，个别情况下可能需要分清主元与次元，进行“主客互换”. 4、优化问题的难点在“建模”，所以审题关是最难过的！找出题目中涉及到的“量”以及“量”之间的相等关系或者不等关系，进行建模；要注意单位及单位的变化，要注意定义域优先原则，要注意极值点求出后一定要有判断过程（导函数值前正后负或者前负后正），要注意最后下结论. |
模型2 | 证明不等式（或证一条曲线在另一条曲线上方），不等式恒成立、不等式能成立（存在型） | 14年21T 15年21T
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模型3 | 生活中的优化问题 |
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二、高考回放：
1、（14全国I，12T）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
三、模型分解：
模型1：讨论函数零点个数（或方程根的个数、两曲线交点的个数）
例1、（16全国I，21T）已知函数.
(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点，求的取值范围.
【变式1】（15全国I，21T）设函数.
（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.
模型2：证明不等式（或证一条曲线在另一条曲线上方），不等式恒成立、不等式能成立（存在型）
例2、（16全国III，21T）设函数.
（I）讨论的单调性；
（II）证明当时，；
（III）设，证明当时，.
【变式2】（11新课标，21T）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；（II）证明：当x>0，且时，．
【变式3】（14新课标I，21T）设函数，曲线在点处的切线斜率为0.
（I）求b;（II）若存在使得，求的取值范围.
四、当堂检测：
1、（14新课标II，21T）已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.
（I）求a；（II）证明：当时，曲线与直线只有一个交点。
2、（13新课标II，21T）已知函数。（Ⅰ）求的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。
3、（2018年山东邹城）已知函数的极小值为0.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
4、（2018年淄博模拟）设函数（其中）．
（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数．
5、（2018年济宁一模）已知函数．
(I)若函数处的切线方程为，求实数a的值；
(Ⅱ)当a＞0时，证明函数恰有一个零点．
6、（2018年日照一模）已知函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：存在．
7、（2018年烟台检测）已知函数．
(I)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；
(Ⅱ)当时，求的单调区间；
(III)若有两个极值点的最小值．
第五讲 导数的综合运用 答案
高考回放：1、C；
例1、【解析】（Ⅰ）．
（ i ）当时，则当时，；当时，
故函数在单调递减，在单调递增．
（ ii ）当时，由，解得：或
①若，即，则，
故在单调递增．
②若，即，则当时，；当时，
故函数在，单调递增；在单调递减．
③若，即，则当时，；当时，；
故函数在，单调递增；在单调递减．
（Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知，函数在单调递减，在单调递增．
又∵，取实数满足且，则
∴有两个零点．
（ii）若，则，故只有一个零点．
（iii）若，由（I）知，当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点；
当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时，，故不存在两个零点．
综上所述，的取值范围是．
【变式1】
例2、
【变式2】解：（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
考虑函数，则
所以当时，故
当时，
当时，
从而当
【变式3】解析：（1），由题设知，解得.
（2）的定义域为，由（1）知，，
（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，
所以，存在，使得的充要条件为，即，
所以.
（ⅱ）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增.
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意.
（ⅲ）若，则.
综上，a的取值范围是.
四、当堂检测：
1、解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.
由题设得－＝－2，所以a＝1.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4，
由题设知1－k>0.
2、 解：(1) ,令得或.
列表如下
0 | （0,2） | 2 | |||
0 | 0 | ||||
减函数 | 极小值 | 增函数 | 极大值 | 减函数 |
函数的极小值为，极大值为＝.
(2)设切点为，则切线的斜率为
此时切线的方程为
令，得.
，因为或
所以切线在轴上的截距的取值范围为.
3、解：（Ⅰ）由题设，得，令，解得.
∴在上单调递减，在上单调递增， …………………………………2分
故的极小值为.
则由题意得，解得. ……………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式对任意恒成立，
∵，∴在上恒成立. ……………………………6分
不妨设，，则.
当时，，∴，∴在上单调递增.
从而，∴不成立. …………………………………………7分
当时，令，得，
若，即，当时，，
∴在上为增函数，故，不合题意； ……………………9分
若，即时，当时，，
∴在上为减函数，
故，符合题意. …………………………………………………………11分
综上所述，所求的取值范围为. ………………………………………………12分
4、
5、
