2019届二轮复习集合、简易逻辑、函数与导数5学案（全国通用）

第五讲    导数的综合运用一、考点考频考法分析：考点考频考法模型1讨论函数零点个数（或方程根的个数、两曲线公共点个数）14年12T15年21T16年21T 1、依据函数性质求参数的值或范围（三种类型）：求参数值需要构建含参方程，求参数范围需要构建含参不等式，这里体现了构造思想。类型一：根据单调性求参数的值或取值范围（①分离参数法；②子集思想：转化为集合的包含关系；③根的分布理论：讨论极值点、区间端点函数值、对称轴等的位置关系）；类型二：不等式恒成立、能成立、恰成立问题中求参数取值范围； 类型三：已知函数零点个数求参数的取值范围（通过研究函数的性质画出函数的大致图象，数形结合（一动一静）求参数取值范围，画函数大致图象时，需要注意边界、端点、极值，涉及到渐近线，可以用一点极限思想）2、讨论函数零点个数（或方程根的个数、两曲线公共点个数）三部曲：①将问题转化为函数图象与轴(或直线，)在该区间上的交点问题；②利用导数研究该函数在该区间上的点单调性、极值（最值）、端点值、渐近线等性质，进而画出函数的大致图象（特殊情况下需要二次求导）③结合图象利用运动变化的观点进行求解.3、利用零点构造函数证明不等式：利用导数法证明不等式在区间D上恒成立的基本方法是构造函数，其中一个重要技巧是找到函数在什么时候可以等于零，这需要较强的观察能力，另一个重要技巧是对不等式做进一步的分离，使参数和变量分离开，或者相同的变量（同类项）分离到等号的同一边，个别情况下可能需要分清主元与次元，进行“主客互换”.4、优化问题的难点在“建模”，所以审题关是最难过的！找出题目中涉及到的“量”以及“量”之间的相等关系或者不等关系，进行建模；要注意单位及单位的变化，要注意定义域优先原则，要注意极值点求出后一定要有判断过程（导函数值前正后负或者前负后正），要注意最后下结论.模型2证明不等式（或证一条曲线在另一条曲线上方），不等式恒成立、不等式能成立（存在型）14年21T15年21T 模型3生活中的优化问题 二、高考回放：1、（14全国I，12T）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（A）       （B）       （C）       （D）三、模型分解：模型1：讨论函数零点个数（或方程根的个数、两曲线交点的个数）例1、（16全国I，21T）已知函数.(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点，求的取值范围.                【变式1】（15全国I，21T）设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.          模型2：证明不等式（或证一条曲线在另一条曲线上方），不等式恒成立、不等式能成立（存在型）例2、（16全国III，21T）设函数.（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.                【变式2】（11新课标，21T）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；（II）证明：当x>0，且时，．              【变式3】（14新课标I，21T）设函数，曲线在点处的切线斜率为0.（I）求b;（II）若存在使得，求的取值范围.             四、当堂检测：1、（14新课标II，21T）已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（I）求a；（II）证明：当时，曲线与直线只有一个交点。               2、（13新课标II，21T）已知函数。（Ⅰ）求的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。            3、（2018年山东邹城）已知函数的极小值为0.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.               4、（2018年淄博模拟）设函数（其中）．（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数．        5、（2018年济宁一模）已知函数．(I)若函数处的切线方程为，求实数a的值；(Ⅱ)当a＞0时，证明函数恰有一个零点．           6、（2018年日照一模）已知函数．(1)求实数a的值；(2)证明：存在．            7、（2018年烟台检测）已知函数．(I)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；(Ⅱ)当时，求的单调区间；(III)若有两个极值点的最小值．                 第五讲    导数的综合运用     答案高考回放：1、C；例1、【解析】（Ⅰ）．（ i ）当时，则当时，；当时，故函数在单调递减，在单调递增．（ ii ）当时，由，解得：或①若，即，则，故在单调递增．②若，即，则当时，；当时，故函数在，单调递增；在单调递减．③若，即，则当时，；当时，；故函数在，单调递增；在单调递减．（Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知，函数在单调递减，在单调递增．又∵，取实数满足且，则∴有两个零点．（ii）若，则，故只有一个零点．（iii）若，由（I）知，当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点；当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时，，故不存在两个零点．综上所述，的取值范围是．【变式1】例2、【变式2】解：（Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即    解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以考虑函数，则所以当时，故当时，当时，从而当【变式3】解析：（1），由题设知，解得.（2）的定义域为，由（1）知，，（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.（ⅱ）若，则，故当时，；当时，，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意.（ⅲ）若，则.综上，a的取值范围是.四、当堂检测：1、解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－＝－2，所以a＝1.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4，由题设知1－k>0.2、 解：(1) ,令得或.列表如下0（0,2）200减函数极小值增函数极大值减函数函数的极小值为，极大值为＝.(2)设切点为，则切线的斜率为此时切线的方程为令，得.，因为或所以切线在轴上的截距的取值范围为.3、解：（Ⅰ）由题设，得，令，解得.∴在上单调递减，在上单调递增， …………………………………2分故的极小值为. 则由题意得，解得. ……………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式对任意恒成立，∵，∴在上恒成立.   ……………………………6分不妨设，，则.当时，，∴，∴在上单调递增.从而，∴不成立.    …………………………………………7分当时，令，得，若，即，当时，，∴在上为增函数，故，不合题意； ……………………9分若，即时，当时，，∴在上为减函数，故，符合题意. …………………………………………………………11分综上所述，所求的取值范围为.  ………………………………………………12分 4、5、