2019届二轮复习（文）集合与简易逻辑学案（全国通用）
展开2019年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版文 数学】
专题一 集合与简易逻辑
考向一 集合的运算
【高考改编☆回顾基础】
1．【集合的运算】【2018年新课标I卷文改编】已知集合，，则 .
【答案】
【解析】
根据集合交集中元素的特征，可以求得.
2. 【集合元素的属性】【2018年全国卷II改编】已知集合，则中元素的个数为 .
【答案】9
3. 【集合的运算与函数不等式相结合】【2018年全国卷Ⅲ文】已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由集合A得,所以，故答案选C.
【命题预测☆看准方向】
集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.
预计2019年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题形式会更加灵活、新颖．试题类型一般是一道选择题或填空题，多与函数、方程、不等式、解析几何等综合考查．
【典例分析☆提升能力】
【例1】设，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得，，又图中阴影部分表示的集合为＝，故选C．
【趁热打铁】【2017北京，文1】已知，集合，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】
【例2】设，已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由有，而，所以，故选A.
【趁热打铁】【浙江省教育绿色评价联盟2018届5月】已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【方法总结☆全面提升】
在进行集合的交、并、补运算中可依据元素的不同属性采用不同的方法求解,常用到的技巧有:
(1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;
(2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解;学+
(3)若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解;
(4)注意转化关系(A)∩B=B⇔B⊆A,A∪B=B⇔A⊆B,
(A∩B)=(A)∪(B), (A∪B)=(A)∩(B)等.
注意两个问题:
(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．
(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．
【规范示例☆避免陷阱】
【典例】已知集合,求实数的取值范围.
【规范解答】
①若即时, ;
②若,如图所示,
则.由得解得.
又∵由①②知, .
【反思提高】造成本题失分的根本原因是易于忽视“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出现时,注意对A进行分类讨论,即分为和两种情况讨论.
【误区警示】
(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．
(2) 空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．在解决有关的问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
（3）五个关系式以及是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．
考向二 简易逻辑
【高考改编☆回顾基础】
1．【四种命题及其关系】【2017课标1，理3】设有下面四个命题
：若复数满足，则；：若复数满足，则；
：若复数满足，则；：若复数，则.
其中的真命题为
A. B． C． D．
【答案】B
【解析】
2. 【充要条件】【2018年理数天津卷】设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件.
【答案】A
【解析】
绝对值不等式 ，由 .据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.
3. 【全称命题与复合命题】【2017山东卷改编】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是 .
① ② ③ ④
【答案】②
.
故填②.
【命题预测☆看准方向】
常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式、立体几何中的线面关系、平面解析几何中的线线关系、直线与圆的位置关系等为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大．
预测2019年将对其中的一或二个知识点予以考查.
【典例分析☆提升能力】
【例1】【2018年浙江卷】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【趁热打铁】【2018届河南省漯河市12月模拟】已知， 是空间两条不重合的直线， 是一个平面，则“， 与无交点”是“， ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】考虑充分性，若， 与无交点，则或者与为异面直线，不一定有，即充分性不成立；
反之，若， ，则一定有， 与无交点，即必要性成立，
综上可得，“， 与无交点”是“， ”的必要而不充分条件.
本题选择B选项.
【例2】命题：“，使”，这个命题的否定是（ ）
A．，使 B．，使
C．，使 D．，使
【答案】B
【解析】由已知，命题的否定为，，故选B.
【例3】设命题： ， ，命题： ， ，则下列命题中是真命题的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时， ，显然命题为假命题；
当时， ，显然命题为真命题；
∴为真命题， 为假命题
∴为真命题
故选:B
【趁热打铁】已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）
【答案】D
【解析】由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；
所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选D.
【方法总结☆全面提升】
(1)命题真假的判定方法:
①一般命题p的真假由涉及的相关知识进行辨别;
②四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,它的逆命题跟否命题同真假;
③形如p∨q,p∧q,p命题的真假根据真值表判定;
④全称命题与特称命题的否定:全称命题,其否定形式是;特称命题,其否定形式是.
(2) 一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：
正面词语 | 等于(＝) | 大于(＞) | 小于(＜) | 是 | 都是 |
否定词语 | 不等于(≠) | 不大于(≤) | 不小于(≥) | 不是 | 不都是 |
正面词语 | 至多有一个 | 至少有一个 . | 任意的 | 所有的 | 一定 |
否定词语 | 至少有两个 | 一个也没有 | 某个 | 某些 | 不一定 |
(3) 充分条件、必要条件判断的定义法:先判断与是否成立,然后再确定p是q的什么条件.
(4)用集合的观点看充分条件、必要条件：A＝{ 满足条件p}，B＝{ 满足条件q}，(1)如果AB，那么p是q的充分不必要条件；(2)如果BA，那么p是q的必要不充分条件；(3)如果A＝B，那么p是q的充要条件；(4)如果，且，那么p是q的既不充分也不必要条件．
(5)对于充分条件、必要条件的判断要注意以下几点:
①要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.
②要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以尝试通过举出恰当的反例来说明.学
③要注意转化:若p是q的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件;若p是q的充要条件,那么p是q的充要条件.
④要善于利用集合间的包含关系判断:若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
【规范示例☆避免陷阱】
【典例】已知：“向量与向量的夹角为钝角”是：“＜0”的 条件.
【规范解答】若向量与向量的夹角为钝角，则＜0，即＜0，即；
当＜0，即＜0，因为，所以，故向量与向量的夹角为钝角或平角，即，故是的充分不必要条件.
【反思提高】判断条件与结论之间的关系时要从两个方向判断，解答本题易于判断一个方向就下结论，忽视对“＜0”成立时能否导出“向量与向量的夹角为钝角”的判断.
充要条件的判断三种常用方法：（1）利用定义判断．如果已知，则是的充分条件，是的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3) 把充要条件“直观化”，如果，可认为是的“子集”；如果，可认为不是的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明．
【误区警示】
（1）区分命题的否定和否命题的不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．
（2）p或q的否定：¬p且¬q；p且q的否定：¬p或¬q.
（3）“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
