2019届二轮复习回扣三三角函数与平面向量学案（全国通用）

回扣三三角函数与平面向量

环节一　记牢概念公式，避免临场卡壳

1．同角三角函数的基本关系

(1)商数关系：＝tan α(α≠ π＋， ∈ )；

(2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．

2．三角函数的诱导公式

诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“ ·±α( ∈ )”中 的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．

3．三角恒等变换的主要公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

tan(α±β)＝；

sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝.

4．平面向量的有关运算

(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb.

两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔ a＋b ＝ a－b .

(2)若a＝(x，y)，则 a ＝＝.

(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则  ＝.

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.

环节二　巧用解题结论，考场快速抢分

1．由sin α±cos α的符号判断α位置

(1)sin  α－cos α＞0⇔ α终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有sin α－cos α＞1)；(2)sin α＋cos α＞0⇔α终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α＞1)．

2．三点共线的判定

三个点A，B，C共线⇔，共线；

向量，，中三终点A，B，C共线⇔ 存在实数α，β使得＝α ＋β，且α＋β＝1.

3．三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则

(1)O为△ABC的外心⇔  ＝  ＝  ＝.

(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.

(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.

(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.

4．在△ABC中，以下恒等式成立

(1)sin A＋sin B＋sin C＝4coscoscos

(2)cos A＋cos B＋cos C＝1＋4sinsinsin

(3)tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C

环节三　明辨易错易混，警惕命题陷阱

1．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A＞B⇔sin A＞sin B.

2．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．

3．两向量夹角的范围为[0，π ，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．

环节四　适当保温训练，树立必胜信念

1．已知sin α＋ cos α＝，则tan α＝(　　)

A. B.

C．－ D．－

解析：∵sin α＋ cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝3，

∴sin2α＋2 sin αcos α＋2cos2α＝3.

∴＝3.

∴＝3.

∴2tan2 α－2tan α＋1＝0.

∴tan α＝.

答案：A

2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)

A．－4 B．－3

C．－2 D．－1

解析：m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，因为(m＋n)⊥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.

答案：B

3．在△ABC中，若b2＝ac，则cos(A－C)＋cos B＋cos 2B的值为(　　)

A．1 B.

C．2 D.

解析：法一：(特殊值法)由题意可设a＝b＝c，即△ABC为等边三角形，则原式＝cos 0˚＋cos 60˚＋cos 120˚＝1.

法二：由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C，则原式＝cos Acos C＋sin Asin C＋cos[π－(A＋C) ＋cos 2B＝cos Acos C＋sin Asin C－cos(A＋C)＋cos 2B＝2sin Asin C＋2cos2 B－1＝2sin2 B＋2cos2 B－1＝1.

答案：A

4．将函数h(x)＝2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x) 的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象(　　)

A．关于直线x＝0对称

B．关于直线x＝1对称

C．关于点(1,0)对称

D．关于点(0,1)对称

解析：依题意，将h(x)＝2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后得y＝2sin＋2，即f(x)＝2sin＋2的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于点(0,1)对称．

答案：D

5．已知A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ) ，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)

A．△ABC的内心

B．△ABC的垂心

C．△ABC的重心

D．AB边的中点

解析：取AB的中点D，则2＝＋，

∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ) ，

∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ) ＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，

∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．

答案：C

6．如图，一栋建筑物的高为(30－10) m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15˚和60˚，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30˚，则通信塔CD的高为________m.

解析：如图，在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝＝20 m.

又易知∠MAN＝∠AMB＝15˚，所以∠MAC＝30˚＋15˚＝45˚，又∠AMC＝180˚－15˚－60˚＝105˚，从而∠ACM＝30˚.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40.在Rt △CMD中，CD＝40×sin 60˚＝60 m，故通信塔CD的高为60 m.

答案：60

7．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，若D为BC的三等分点(靠近点B一侧)，则·的取值范围是________．

解析：∵＝＝(－)，

有＝＋＝＋，

∴·＝·(－)

＝－2＋·＋AC＝＋2cos θ.

而θ∈(0，π)，故＋2cos θ∈.

答案：

8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)当x∈[－π，－ 时，求f(x)的取值范围．

解析：(1)由图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将代入得1＝sin，而－＜φ＜，所以φ＝.因此函数f(x)＝sin.

(2)由于x∈，－≤x＋≤，

所以－1≤sin≤，

所以f(x)的取值范围是.

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C＋2cos C＋2＝0.

(1)求角C的大小；

(2)若b＝a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值．

解析：(1)∵cos 2C＋2cos C＋2＝0，

∴2cos2C＋2cos C＋1＝0，

即(cos C＋1)2＝0，

∴cos C＝－.

又C∈(0，π)，∴C＝.

(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2，

∴c＝a，即sin C＝sin A，

∴sin A＝sin C＝.

∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，

∴absin C＝sin Asin B，

∴·sin C＝，

由正弦定理得：2sin C＝，

解得c＝1.