2019届二轮复习数系的扩充与复数的引入学案（全国通用）（文）

【三年高考精选】

1. 【2018年文新课标I卷】设，则

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】，则，故选c.

2．【2018年文数全国卷II】

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】 ，故选D.

3. 【2018年全国卷Ⅲ文】     

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】，故选D.

4．【2017课标1，文】下列各式的运算结果为纯虚数的是

A．i(1+i)2   B．i2(1-i)   C．(1+i)2   D．i(1+i)

【答案】C

【解析】由为纯虚数知选C．

5.【2017课标II，文】

A.      B.     C.      D.

【答案】B

【解析】由题意，故选B.

6．【2017课标3，文】复平面内表示复数的点位于（    ）

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

【答案】C

【解析】由题意：，在第三象限. 所以选C.

7．【2016高考新课标1文数】设的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=（   ）

（A）－3    （B）－2    （C）2     （D）3

【答案】A

【解析】,由已知,得,解得,故选A.

8.【2016高考新课标2文数】设复数 满足，则=（    ）

（A）        （B）               （C）            （D）

【答案】C

【解析】由得，，所以，故选C.

9．【2016高考新课标3文数】若，则＝（     ）

（A）1   （B）   （C）   （D）

【三年高考刨析】

【2019年高考命题预测】

预测2019高考，基本出题方式不变，仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点.

【2019年一轮复习指引】

复数问题在高考中年年必有,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一年的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择题为主.复习建议：1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．　

【2019年高考考点定位】

高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，一般是选择题、填空题，难度不大．

考点一、复数的有关概念

典例1【河北省衡水市2018届第六次模拟】若复数(，且)，且，则的实部为(    )

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【备考知识梳理】

1.称为虚数单位,规定；

2.形如()的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数．

3.共轭复数：复数称为复数的共轭复数，记为，那么与对应复平面上的点关于实轴对称，且，，，

与共轭⇔(，)．

【规律方法技巧】

1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为()的形式，以确定实部和虚部．

2.复数是实数的条件：①；②；③.

3.复数是纯虚数的条件: ①是纯虚数且； ②是纯虚数；③是纯虚数.

4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．

【考点针对训练】

1. 【云南省红河州2018届统一检测】纯虚数满足，则的共轭复数为（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

2. 【河北省唐山2018届强化提升考试（一)】若复数满足其中为虚数单位，则的虚部为（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】复数满足，其中为虚数单位，，则的虚部为，故选

【考点2】复数相等，复数的几何意义

典例2【山东省肥城市2018届 应性训练】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（   ）    . 

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】因为，又因为对应的点在第四象限，所以

因此选A.

【备考知识梳理】

1.复数的相等设复数，那么的充要条件是：．特别.

2.复数的模：向量的模叫做复数 ()的模，记作或，即.

3.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面轴叫做实轴，轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.

复数的几何表示：复数 ()可用平面直角坐标系内点来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集与复平面上全体点集是一一对应的．    

复数的几何意义[

（1）复数复平面内的点().   

（2）复数 ().

4.复平面内复数 对应的点的几个基本轨迹：

（1）是正常数）轨迹是一个圆.

（2）是复常数）轨迹是一条直线.

（3）是复常数，是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在.

（4）是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在.

【规律方法技巧】

1. 对复数几何意义的理解及应用

(1)复数 、复平面上的点及向量相互联系，即 ()

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

2. 注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．

3. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数 ()，由它的实部与虚部唯一确定，故复数与点相对应.

【考点针对训练】

1. 【贵州省凯里市2018届《黄金卷》第四套模拟】已知复数满足，则的最小值为（   ）

A．0    B．1    C．2    D．3

【答案】B

【解析】设 =x+yi，（x，y∈R），∵  ﹣2i =1，∴ x+（y﹣2）i =1，∴=1，∴x2=1﹣（y﹣2）2（y∈[1，3 ）．则   ===≥=1．当y=1时取等号．故选：B．

2. 【河南省洛阳市2018届第三次统一考试】已知复数（是虚数单位），则的共轭复数对应的点在（  ）

A．第四象限    B．第三象限    C．第二象限    D．第一象限

【考点3】复数的运算

典例3【福建省三明市2018届质量检查】若复数满足（是虚数单位），则复数的共辄复数（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由题意可得，所以，故选D.      

【备考知识梳理】    。X。X。 

1. 复数的加、减、乘、除运算法则

设,,则

①加法：；

②减法：；

③乘法：；

④除法：

2．复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，.

3. 复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何 ， ， 及 ，有：， ， ；

4.复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数对应的向量共线且同向（反向）时取等号.

【规律方法技巧】

1. 几个重要的结论：

  ⑴；⑵；⑶若为虚数,则.

2. 常用计算结论：

⑴；⑵,；⑶；

⑷；，，，.

3. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉的特点及熟练应用运算技巧．，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．

4.在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的知识求解复数的相关问题.

5.实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．

【考点针对训练】

1. 【江西省赣州市2018年（5月)适应性考试】复数，则=（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】根据题中所给的条件，可知，所以，故选A.

2. 【河南省郑州市2018届第二次模拟】已知复数，则__________．

【答案】.

【解析】,故答案为.

【应试技巧点拨】

1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为()的形式，以确定实部和虚部．

2.复数是实数的条件：①；②；③.

3.复数是纯虚数的条件: ①是纯虚数且； ②是纯虚数；③是纯虚数.

4. 对复数几何意义的理解及应用

(1)复数 、复平面上的点及向量相互联系，即 () ；

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

5. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．

1．【重庆市2018届第六次模拟】若，则的共轭复数对应的点在（   ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】D

 2. 【江西师范大附属中2018年第二次质检】设复数，其中是实数，是虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】A

【解析】由可得：，，，解得，，

复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选

3. 【2018年考前猜题卷】已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】，，故选C.      

4. 【北京市人大附中2018年5月三模】下列各式的运算结果为纯虚数的是

A．    B．    C．    D．

【答案】B

5．【河北辛集2018届二模】若复数 1， 2在复平面内对应的点关于y轴对称，且 1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】B

【解析】因为对应的点关于轴对称，故，，故对应点在第二象限，选B．

6．【江西省南城县2018届联考】已知复数，是的共轭复数，在（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】∵,∴,

∴。选D。

7．【浙江省台州2018届模拟】复数是纯虚数，则实数的值为（   ）

A．    B．    C．    D．或

【答案】A

【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得，则实数的值为2，故选A.

8．【河南省南阳市第一中2018届第二十次考试】在复平面内，复数满足则对应的点为于（   ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】B

【解析】由，得，，则对应的点的坐标为，

位于第二象限，故选B.

9．【成都市2018年高考模拟（一)】设有下面四个命题

:若满足，则;

:若虚数是方程的根，则也是方程的根:

:已知复数则的充要条件是:

;若复数,则.其中真命题的个数为(    )

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】C

10．【湖北省2018届5月冲刺】已知复数（为虚数单位）在复平面上对应的点在虚轴上，则实数__________．

【答案】2

【解析】因为，又因为对应的点在虚轴上，所以

11.【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】已知为复数的共轭复数，且，则为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题意，得 ，则选A.

 12. 【2017届安徽省宣城市第二次调研】设，其中为虚数单位， ， 是实数，则（   ）

A. 1    B.     C.     D.

【答案】D

 13. 【安徽省亳州市2017届高三质量检测】复数的实部与虚部相等，则实数（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由题意可得： ，结合题意可知： ，解得： .本题选择B选项.     

14.【福建省莆田2017届第二次模拟】已知复数， ，若复数，则实数的值为（    ）

A.     B. 6    C.     D.

【答案】D

【解析】因为，所以，所以.故本题正确答案为D.

15.【内蒙古包钢2017届高三适应性考试】设复数， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则（    ）

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

【答案】D

【解析】由于复数， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，

则，故选D.

【一年原创真预测】

1. 已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则（   ）

A．         B．       C．       D．3

【答案】D

【入选理由】本题考查复数的有关概念，复数的运算等基础知识，意在考察生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，本题考查知识基础，故选此题.

2. 已知是虚数单位，复数，且满足，则（　　　）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．3

【答案】C

【解析】由题意，得，所以，解得，所以，故选C．

【入选理由】本题主要考查复数的模、复数的运算等基础知识，意在考察生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力.本题利用复数相等,求出参数值,利用常见结论,构思巧，故选此题.

3. 复数满足，其中i为虚数单位，则所对应的点所在的象限为

（A）第一象限   （B）第二象限          （C）第三象限      （D）第四象限

【答案】D

【解析】由题意可得，所以，其所对应的点为，所以位于第四象限.选D.

【入选理由】本题主要考查复数的几何意义、复数的运算、共轭复数的概念等基础知识，意在考察生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力.本题利用复平面的点与复数关系命题,立意新，故选此题.

4. 已知复数在复平面上对应的点在直线上，复数（是虚数单位），则（   ）

A．         B．       C．       D．

【答案】D

【入选理由】本题考查复数的基本概念，复数的运算等基础知识，意在考察生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 本题考查知识基础，试题难度不大，有一定的综合性，故选此题.

5. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限         B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限

【答案】D

【解析】∵，，则在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.      

【入选理由】本题主要考查复数的基本运算,复数的模及复数的几何意义等基础知识，意在考察生的转化思想,分析问题解决问题的能力,以及基本运算能力. 复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，本小题把复数的运算与几何意义综合考查，体现小题综合化思想，故选此题.