2019届二轮复习数系的扩充和复数的引入学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1．复数的有关概念及性质

1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．

2．复数的概念

形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．

①当b＝0时，复数a＋bi为实数；

②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；

③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．

3.复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.

4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 的共轭复数记作．

5. 复数的模  ]

向量的模r叫做复数 ＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作| |或.即＝＝r＝(r≥0，r∈R)．

2．复数的几何意义

1. ＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点 (a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．

2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．

3.复数的四则运算

1.复数的加、减、乘、除的运算法则 学  ]

设 1＝a＋bi， 2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1) 1± 2＝(a±c)＋(b±d)i；

(2) 1· 2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；  ]

(3)＝＋i ( 2≠0)．

2. .  学 .

【重点难点突破】

考点1  复数的有关概念及性质

【1-1】【2018届浙江省台州中学高三模拟】复数是纯虚数，则实数的值为（   ）

A．     B．     C．     D． 或

【答案】A

【1-2】【2018届浙江省杭州市高三上学期期末】设复数（其中为虚数单位），则复数的实部为           ，虚部为          ．

【答案】  2  1

【解析】

所以复数的实部为，虚部为

【领悟技法】

（1）中的负号易忽略.

（2）对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m， n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R.

 (3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.

【触类旁通】

【变式一】已知复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（   ）

A．-2               B．-1               C．0              D．2

【答案】A

【解析】，由是纯虚数得，故选A．

【变式二】已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（   ）

A．             B．              C．              D．

【答案】B

【解析】设,则,故,解之得,则,故,应选B.

考点2  复数的几何意义

【2-1】当时，复数在平面上对应的点位于

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】D

【解析】<m<1，则3m－2>0，m－1<0，点在第四象限．

【2-2】【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ）

（A）        （B）           （C）         （D）

【答案】A

【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A.

【领悟技法】

复数的几何意义

(1)　(其中a，b∈R)．   

(2)表示复数 对应的点与原点的距离．

(3)表示两点的距离，即表示复数 1与 2对应的点的距离．

【触类旁通】

【变式一】【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校第八次模拟】已知复数在复平面上对应的点为，则（     ）

A．     B．     C．     D． 是纯虚数

【答案】D

【解析】

【分析】

【变式二】复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

【答案】A

【解析】因，故在第一象限，应选A．

考点3  复数的代数运算

【3-1】【2018年浙江卷】复数 (i为虚数单位)的共轭复数是（    ）

A. 1+i    B. 1−i    C. −1+i    D. −1−i

【答案】B 学  ]

【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.

详解：，∴共轭复数为，选B.

【3-2】【2018年理新课标I卷】设，则（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【领悟技法】

复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．

【触类旁通】

【变式一】已知复数，其中为虚数单位，则 （    ）

A.          B.         C.          D.2

【答案】C.

【解析】由题意得，，∴，故选C.

【变式二】【2018年江苏卷】若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为        ．

【答案】2

【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.

详解：因为，则，则的实部为.

【易错试题常警惕】

易错典例：已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（    ）

A．        B．       C．        D．

易错分析：（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错．

正确解析：，所以，虚部为，选D. 学  ]

温馨提醒：

1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 ∈C时，不是总成立的：(1)( m)n＝ mn(m，n为分数)；(2)若 m＝ n，则m＝n( ≠1)；(3)若 ＋ ＝0，则 1＝ 2＝0.

2.注意利用共轭复数的性质，将转化为，即复数的模的运算，常能使解题简捷．

【学 素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.  

【典例】【2017“超级全能生”浙江3月联考】在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】 ,选D.