2019届二轮复习（理）专题62数系的扩充与复数的引入学案（全国通用）


1．理解复数的基本概念．　
2.理解复数相等的充要条件．　
3.了解复数的代数表示形式及其几何意义．　
4.会进行复数代数形式的四则运算．　
5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．

1．复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d

共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)

复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为 ＝a＋bi，则向量的长度叫做复数 ＝a＋bi的模
| |＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)(a，b∈R)．
(2)复数 ＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设 1＝a＋bi， 2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法： 1＋ 2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法： 1－ 2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法： 1· 2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝
＝(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 1， 2， 3∈C，有 1＋ 2＝ 2＋ 1，( 1＋ 2)＋ 3＝ 1＋( 2＋ 3)．
(3)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义：若复数 1， 2对应的向量，不共线，则复数 1＋ 2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
②复数减法的几何意义：复数 1－ 2是－＝所对应的复数．

高频考点一　复数的概念
例1、(1)设i是虚数单位．若复数 ＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)已知a∈R，复数 1＝2＋ai， 2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)
A．1 B．i C. D．0
(3)若 1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)， 2＝3－2i，则“m＝1”是“ 1＝ 2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　(1)D　(2)A　(3)A
解析　(1) ＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，
且 ＝a－为纯虚数知a＝3.
(2)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.
(3)由解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“ 1＝ 2”的充分不必要条件．
【感悟提升】解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【变式探究】(1)若复数 ＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
(2)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　(1)A　(2)A

高频考点二　复数的运算
例2、(1) i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)
A．i B．－i C．1 D．－1
(2)复数i(2－i)等于(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)方法一　i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i.故选A.
方法二　i607＝＝＝＝－i，其共轭复数为i.故选A.
(2)i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.
【变式探究】(1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数 等于(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
(2)()6＋＝ .
答案　(1)D　(2)－1＋i

【方法技巧】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．
【举一反三】(1)若复数 满足＝i，其中i为虚数单位，则 等于(　　)
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
(2)2 016＝ .
(3)＋2 016＝ .
答案　(1)A　(2)1　(3)1＋i

高频考点三　复数的几何意义
例3、(1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为 1， 2， 3，若复数 满足| － 1|＝| － 2|＝| － 3|，则 对应的点为△ABC的(　　)
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
答案　D
解析　由几何意义知，复数 对应的点到△ABC三个顶点距离都相等， 对应的点是△ABC的外心．
(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

①、所表示的复数；
②对角线所表示的复数； 学 ]
③B点对应的复数．

【感悟提升】因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
【变式探究】(1)如图，在复平面内，点A表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是(　　)

A．A B．B
C．C D．D
答案　B
解析　表示复数 的点A与表示 的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示.选B.
(2)已知 是复数， ＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数( ＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解　设 ＝x＋yi(x、y∈R)，
∴ ＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意得x＝4.∴ ＝4－2i.
∵( ＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知
解得2 ∴实数a的取值范围是(2,6)．

1. （2018年全国Ⅲ卷理数）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，故选D.
2. （2018年浙江卷）复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
【答案】B
【解析】，∴共轭复数为，选B.
3. （2018年全国I卷理数）设，则
A. B. C. D.
【答案】C

4.（2018年全国Ⅱ卷理数）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选D.
5. （2018年北京卷）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】的共轭复数为，对应点为，在第四象限，故选D.
6. （2018年江苏卷）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为 ．
【答案】2
【解析】因为，则，则的实部为.
7. （2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 .
【答案】

8. （2018年天津卷）i是虚数单位，复数 .
【答案】4–i
【解析】由复数的运算法则得：.
1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题
：若复数满足，则；：若复数满足，则；
：若复数满足，则；：若复数，则.
其中的真命题为
A. B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
2.【2017课标II，理1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由复数除法的运算法则有：，故选D。
3.【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=
（A）1或-1 （B） （C）- （D）
【答案】A

4.【2017课标3，理2】设复数 满足(1+i) =2i，则∣ ∣=
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意可得： ，由复数求模的法则： 可得： .
1.【2016新课标理】设其中,实数,则( )
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
【解析】因为所以故选B.
2.【2016高考新课标3理数】若，则（ ）
(A)1 (B) -1 (C) (D)
【答案】C
【解析】，故选C．
3.【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A

4.【2016年高考北京理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 .
【答案】－1
【解析】，故填：－1
5.【2016高考山东理数】若复数 满足 其中i为虚数单位，则 =（ ）
（A）1+2i （B）12i （C） （D）
【答案】B
【解析】设，则，故，则，选B.
6.【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为 .
【答案】2
【解析】由，可得，所以，，故答案为2．
7.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则 的实部是 ▲ .
【答案】5
【解析】，故 的实部是5
1.【2015高考新课标2，理2】若为实数且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，所以，解得，故选B．
2. 【2015高考四川，理2】设i是虚数单位，则复数( )
（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i
【答案】C
【解析】
，选C.
3.【2015高考广东，理2】若复数 ( 是虚数单位 )，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．

4.【2015高考新课标1，理1】设复数 满足=，则| |=( )
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】由得，==，故| |=1，故选A.
5.【2015高考北京，理1】复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据复数乘法运算计算得：，故选A.
6.【2015高考湖北，理1】 为虚数单位，的共轭复数为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】,所以的共轭复数为，选A .
7.【2015高考山东，理2】若复数满足，其中为虚数为单位，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】因为，所以， ，所以， 故选：A.
8.【2015高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】B
【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.
9.【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi）（a-bi）= .
【答案】3
【解析】由得，即，所以.
10.【2015高考天津，理9】是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 .
【答案】

11.【2015江苏高考，3】设复数 满足（i是虚数单位），则 的模为 .
【答案】
【解析】
12.【2015高考湖南，理1】已知（为虚数单位），则复数=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】由题意得，，故选D.
13.【2015高考上海，理2】若复数满足，其中为虚数单位，则 ．
【答案】
【解析】设，则
【2015高考上海，理15】设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B

（2014·浙江卷）已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　
【解析】由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得所以或故选A.
（2014·全国卷）设 ＝，则 的共轭复数为(　　)
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
【答案】D　
【解析】 ＝＝＝＝1＋3i，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.
（2014·北京卷）复数＝ ．
【答案】－1　
【解析】＝＝＝－1.
（2014·福建卷）复数 ＝(3－2i)i的共轭复数 等于(　　)
A．－2－3i B．－2＋3i ]
C．2－3i D．2＋3i
【答案】C　
【解析】由复数 ＝(3－2i)i＝2＋3i，得复数 的共轭复数 ＝2－3i.
（2014·广东卷）已知复数 满足(3＋4i) ＝25，则 ＝(　　)
A．－3＋4i B．－3－4i
C．3＋4i D．3－4i
【答案】D　

（2014·湖北卷）i为虚数单位，＝(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
【答案】A　
【解析】＝＝－1.故选A.
（2014·湖南卷）满足＝i(i为虚数单位)的复数 ＝(　　) ]
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
【答案】B　
【解析】因为＝i，则 ＋i＝ i，所以 ＝＝＝.
10．（2014·江西卷）是 的共轭复数，若 ＋＝2，( －)i＝2(i为虚数单位)，则 ＝(　　)
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
【答案】D　
【解析】设 ＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以2a＝2，－2b＝2，得a＝1，b＝－1，故 ＝1－i.
11．（2014·辽宁卷）设复数 满足( －2i)(2－i)＝5，则 ＝(　　)
A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i
【答案】A　
【解析】由( －2i)(2－i)＝5，得 －2i＝，故 ＝2＋3i.
12．（2014·新课标全国卷Ⅰ] ＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【答案】D　
【解析】＝＝＝－1－i.
13．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数 1， 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1＝2＋i，则 1 2＝(　　)
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
【答案】A　
【解析】由题知 2＝－2＋i，所以 1 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
14．（2014·山东卷）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)
A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i
【答案】D　

15．（2014·四川卷）复数＝ ．
【答案】－2i　
【解析】＝＝－2i.
16．（2014·天津卷）i是虚数单位，复数＝(　　)
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
【答案】A　
【解析】＝＝＝1－i.
17．（2013·新课标全国卷Ⅰ] 若复数 满足(3－4i) ＝|4＋3i|，则 的虚部为(　　)
A．－4 B．－ C．4 D.
【答案】D　
【解析】 ＝＝＝＝＋i，故 的虚部是.
18．（2013·安徽卷）设i是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 · i＋2＝2 ，则 ＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【答案】A　

19．（2013·北京卷）在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D　
【解析】(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的复平面内点的坐标为(3，－4)，所以选D.
20．（2013·福建卷）已知复数 的共轭复数 ＝1＋2i(i为虚数单位)，则 在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D　
【解析】 ＝1－2i，对应的点为P(1，－2)，故选D.
21．（2013·广东卷）若复数i ＝2＋4i，则在复平面内， 对应的点的坐标是(　　)
A．(2，4) B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4，2)
【答案】C　
【解析】设复数 ＝a＋bi，a，b∈R，则i ＝i(a＋bi)＝－b＋ai＝2＋4i，解得b＝－2，a＝4.故在复平面内， 对应的点的坐标是(4，－2)，选C.
22．（2013·湖北卷）在复平面内，复数 ＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D　
【解析】 ＝＝＝i(1－i)＝1＋i， ＝1－i， 对应的点在第四象限，选D.
23．（2013·湖南卷）复数 ＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B　
【解析】由题 ＝i·(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，在复平面上对应的点坐标为(－1，1)，即位于第二象限，选B.
24．（2013·江苏卷）设 ＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数 的模为 ．
【答案】5　
【解析】因为 ＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，所以复数 的模为5.
25．（2013·江西卷）已知集合M＝{1，2， i}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数 ＝(　　)
A．－2i B．2i
C．－4i D．4i
【答案】C　
【解析】 i＝4 ＝－4i，故选C.
26．（2013·辽宁卷）复数 ＝的模为(　　)
A. B. C. D．2
【答案】B　

27．（2013·全国卷）(1＋i)3＝(　　)
A．－8 B．8
C．－8i D．8i
【答案】A　
【解析】(1＋i)3＝13＋3×12(i)＋3×1×(i)2＋(i)3＝1＋3i－9－3i＝－8.
28．（2013·山东卷）复数 满足( －3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则 的共轭复数 为(　　)
A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i
【答案】D　
【解析】设 ＝a＋bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi－3)(2－i)＝(2a＋b－6)＋(2b－a＋3)i＝5，即解之得∴ ＝5－i.
29．（2013·陕西卷）设 1， 2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若| 1－ 2|＝0，则 1＝ 2
B．若 1＝ 2，则 1＝ 2
C．若| 1|＝| 2|，则 1· 1＝ 2· 2
D．若| 1|＝| 2|，则 ＝
【答案】D　

30．（2013·四川卷）如图1－1所示，在复平面内，点A表示复数 ，则图1－1中表示 的共轭复数的点是(　　)

图1－1
A．A 　B．B 　C．C 　D．D
【答案】B　
【解析】复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x轴对称．
31．（2013·天津卷）已知a，b∈R，i是虚数单位，若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝ .
【答案】1＋2i　
【解析】(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，
∴解得a＝1，b＝2.故a＋bi＝1＋2i.
32．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 设复数 满足(1－i) ＝2i，则 ＝(　　)
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
【答案】A　
【解析】(1－i) ＝2i，则 ＝＝i(1＋i)＝－1＋i.故选A.
33．（2013·浙江卷] 已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　)
A．－3＋i B．－1＋3i
C．－3＋3i D．－1＋i
【答案】B　
【解析】(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选择B.
34．（2013·重庆卷）已知复数 ＝(i是虚数单位)，则| |＝ ．
【答案】