2019届二轮复习数系的扩充与复数的引入学案（全国通用）



（十九）数系的扩充与复数的引入
1．复数的概念
（1）理解复数的基本概念.
（2）理解复数相等的充要条件.
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义.
2．复数的四则运算
（1）会进行复数代数形式的四则运算.
（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

一、复数的概念


二、复数的几何意义
1．复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
（1）复数 =a＋bi复平面内的点(a，b∈R)．
（2）复数 =a＋bi(a，b∈R)平面向量.
2．复数加、减法的几何意义
（1）复数加法的几何意义：若复数 1， 2对应的向量不共线，则复数 1＋ 2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．学
（2）复数减法的几何意义：复数 1− 2是所对应的复数．
三、复数的代数运算
1．复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设，则
①加法：；
②减法：；
③乘法：；
④除法：．
（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 1， 2， 3∈C，有．
（3）复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意 1， 2， 3∈C，有，，.
2．常用结论
（1）；=；=.
（2）．
（3）．
（4）．
（5）模的运算性质：①；②；③.

考向一 复数的有关概念
求解与复数概念相关问题的技巧：
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解.学

典例1 已知复数 满足，则 的共轭复数是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由得到.
故选A.
【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
典例2 已知a∈R，复数，，若为纯虚数，则复数的虚部为
A．1 　 B．i
C． D．0
【答案】A

【名师点睛】若 =a＋bi(a，b∈R)，则b=0时， ∈R；b≠0时， 是虚数；a=0且b≠0时， 是纯虚数．

1．若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则
A． B．
C． D．
2．已知i为虚数单位，复数的模为_____．
考向二 复数的几何意义
复数的几何意义及应用：
(1)复数 、复平面上的点 及向量相互联系，即 =a＋bi(a，b∈R) (a，b).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【注意】 的几何意义：令 =x＋yi(x，y∈R)，则 =，由此可知表示复数 的点到原点的距离就是 的几何意义； 1− 2 的几何意义是复平面内表示复数 1， 2的两点之间的距离.

典例3 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】,对应点为,位于第二象限.
故选B.学
典例4 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，−2＋4i.

试求：
（1）所表示的复数；
（2）对角线所表示的复数；
（3）求B点对应的复数．
【答案】（1）所表示的复数为−3−2i，所表示的复数为；（2）5−2i；（3）1＋6i.

（2）∵=−，
∴所表示的复数为.
（3）∵=＋=＋，
∴所表示的复数为(3＋2i)＋(−2＋4i)=1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.
【名师点睛】结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．

3．复数 =(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知复数 满足 =，的虚部为2.
（1）求 ；
（2）设 ，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积.
考向三 复数的四则运算
复数代数形式的四则运算是每年高考考查的一个重要考向，常利用复数的加减乘运算求复数，利用复数的相等或除法运算求复数等，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题，复数代数形式的运算问题常见题型及解题策略：
(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可．
(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简．
(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.

典例5
A．1＋i B．1−i
C．−1＋i D．−1−i
【答案】D
【解析】.
故选D.

5．已知是虚数单位，复数满足，则
A． B．
C． D．5


1．复数
A． B．
C． D．
2．已知复数，则复数的共轭复数为
A． B．
C． D．
3．已知复数（i是虚数单位），则 的实部为
A． B．
C． D．
4．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则
A． B．
C． D．
5．如果复数在复平面内对应的点位于第四象限，那么角所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．下面是关于复数的四个命题：
①；②；③的共轭复数为；④的虚部为．
其中正确的命题是
A．②③ B．①②
C．②④ D．③④
7．已知为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知是虚数单位,,且,则
A． B．
C． D．
9．已知复数(i为虚数单位），则=
A．1+3i B．3+i
C．1+i D．1-i
10．设为实数，若复数，则
A． B．
C． D．
11．已知是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则
A． B．
C． D．
13．复数，且，则的值是
A． B．
C． D．2
14．若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为
A．真真真 B．真真假
C．假假真 D．假假假
15．欧拉公式(为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数的模为
A． B．
C． D．
16．__________．
17．若为实数，且为实数，则=_______.
18．已知复数，为虚数单位，若在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围是___________．
19．若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数=___________．
20．设是复数，表示满足时的最小正整数，是虚数单位，则________.

1．（2018浙江）复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A．1+i B．1−i
C．−1+i D．−1−i
2．（2018北京文 ）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（2018新课标I文 ）设，则
A． B．
C． D．
4．（2018新课标Ⅲ文 ）
A． B．
C． D．
5．（2018新课标II文 ）
A． B．
C． D．
6．(2017年高考新课标I卷文 )下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1+i)2 B．i2(1−i)
C．(1+i)2 D．i(1+i)
7．（2017年高考新课标II卷文 ）
A． B．
C． D．
8．（2017新课标Ⅲ文 ）复平面内表示复数的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．(2017年高考北京卷文 )若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A．(–∞，1) B．(–∞，–1)
C．(1，+∞) D．(–1，+∞)
10．(2016年高考新课标I卷文 ) 设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=
A．−3 B．−2
C．2 D．3
11．(2016年高考新课标II卷文 )设复数 满足，则 =
A． B．
C． D．
12．（2018上海）已知复数满足（是虚数单位），则 ．
13．（2018江苏）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．
14．（2018天津文 ）i是虚数单位，复数___________.


变式拓展

1．【答案】A
【解析】由题可知==，又复数的实部与虚部相等，所以.
故选A.学
【名师点睛】本题考查了复数知识及复数运算，利用复数相关知识列方程求解.先整理复数成，再利用实部与虚部相等列方程求解.
2．【答案】
【解析】.
故答案为.
3．【答案】A

4．【答案】（1）；（2）1.
【解析】（1）设，
因为 =，
所以
因为的虚部为2，
所以，
所以，
因此


.

【名师点睛】（1）先设复数的代数形式，再根据条件列方程组解得 ；
（2）先根据复数乘法以及减法计算化为复数代数形式，再确定对应点坐标，最后根据点坐标关系求三角形面积.
5．【答案】A
【解析】，，
.
故选A.
考点冲关

1．【答案】A
【解析】.
故选A.
2．【答案】A
【解析】因为，所以，所以.
故选A.学
3．【答案】B
【解析】∵，∴ 的实部为．
故应选B．
【名师点睛】利用复数的除法运算化简复数 ，从而得到其实部.复数的运算，难点是乘、除法法则，设，则，
.
4．【答案】B
【解析】因为复数是纯虚数，所以且≠0，可得.
故选B.
5．【答案】B

6．【答案】C
【解析】∵复数==﹣1﹣i，∴ =，∴①错误；
∵ 2=（﹣1）2+i2+2i=2i，∴②正确；
∵=﹣1+i，∴③错误；
∵ =﹣1﹣i，∴虚部为﹣1．故④正确．
故选C．
【名师点睛】本题考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念．根据复数的除法运算法则先化简复数为a+bi，a、b∈R形式，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解．
7．【答案】C
【解析】当时，是纯虚数，充分性成立；
当是纯虚数时，则，解得必要性成立.
是为纯虚数的充分必要条件.
故选C.
8．【答案】A
【解析】由，得，，即.
故选A.
【名师点睛】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数相等的条件列等式求得的值.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
9．【答案】D

【名师点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的概念 ，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由题意可得，进而得到.
10．【答案】A
【解析】由得，则，解得.
故选A.学
11．【答案】C
【解析】∵=+（i4）504·i3，∴复数 在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，-1），位于第三象限．
故选C．
【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案．
12．【答案】B
【解析】∵复数 1， 2在复平面内的对应点关于实轴对称，，∴，
则.
本题选择B选项.
13．【答案】A

14．【答案】C
【解析】由题意得原命题为真，由于模相等的复数不一定共轭，所以逆命题为假命题，从而否命题为假命题，逆否命题为真命题.因此真假性的判断依次为假假真.选C.
15．【答案】C
【解析】由题意，=cos+isin，
∴，
∴表示的复数的模为．
故选C．
【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．直接由题意可得，再由复数模的计算公式得答案．
16．【答案】1
【解析】，即该复数的模长为1.
故答案为1.
17．【答案】
【解析】因为为实数，所以有，解得.
故答案是.
【名师点睛】该题考查的是有关复数的概念问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数是实数的条件是虚部等于零，熟练掌握基础知识是解题的关键,首先应用复数的除法运算法则，将复数进行化简，结合复数是实数的条件，建立相应的等量关系，求得参数的值，得到结果.
18．【答案】

19．【答案】
【解析】因为= ，其为纯虚数，所以，解得=1.故答案为.
20．【答案】4
【解析】∵，∴，
∵表示满足的最小正整数，∴当时满足第一次成立，∴，
故答案为.
直通高考

1．【答案】B
【解析】化简可得 =，∴ 的共轭复数为1﹣i.
故选B．
【名师点睛】本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．化简已知复数 ，由共轭复数的定义可得．
2．【答案】D
【解析】的共轭复数为，对应点为，在第四象限.
故选D.学
【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.
3．【答案】C
【解析】，则.
故选C.
【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
4．【答案】D
【解析】.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.由复数的乘法运算展开即可.
5．【答案】D

【名师点睛】复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.根据公式，可直接计算得.
6．【答案】C
【解析】由为纯虚数知选C．
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.学
7．【答案】B
【解析】由题意.
故选B.
【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.
8．【答案】C

【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为
9．【答案】B
【解析】设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：.
故选B.
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)(a，b∈R)．
复数 ＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
10．【答案】A
【解析】，由已知，得，解得.
故选A.
【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是中的负号易忽略，所以做复数题时要注意运算的准确性.
11．【答案】C
【解析】由得，所以.
故选C.
【名师点睛】复数的共轭复数是，据此先化简再计算即可.
12．【答案】5

【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
13．【答案】2
【解析】因为，则，则的实部为.
【名师点睛】本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.
14．【答案】4–i
【解析】由复数的运算法则得：.
【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.