2019届二轮复习平面向量平面向量的基本定理学案（全国通用）
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31 平面向量 平面向量的基本定理（及坐标运算）
【考点讲解】
一、具本目标： 平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义.
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
考点透析：
1.理解平面向量基本定理的实质，理解基底的概念，会用给定的基底表示向量.
2.掌握求向量坐标的方法，掌握平面向量的坐标运算.
3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线，解三形等有关的问题.
4.用坐标表示的平面向量的共线条件是高考考查的重点，分值5分.一般是中低档题.
二、知识概述：平面向量基本定理及其应用
平面向量基本定理：
如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.
用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及中点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
【真题分析】
1.【2014天津，文13】已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，.若，则的值为 .
【答案】2
2.【山东省威海市2018届二模】在平行四边形中，分别为边的中点，若（），则 .
【解析】本题考点平面向量的加法法则、平面向量基本定理的应用，由题意可知，
又因为，所以
所以有，解得，所以.
【答案】2
3.【2014全国1，文6】设分别为的三边的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A学 ]
4.【2017·湖南东部六校联考】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B． C. D．
【解析】由已知可得＝×(＋)＝＋＝＋，又M，G，N三点共线，故＋＝1，∴＋＝3，则(当且仅当x＝y
时，取“＝”号)．
【答案】C
5.【优选题】设,,, 点是线段上的一个动点, , 若,
则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
6.【2017课标3】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.
若= +，则+的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
【解析】本题考点是向量的基本定理及坐标运算，由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系，可得点，设点.由题意可得点C到直线BD的距离也就是圆C的半径
为，所以圆C的方程为.学
，
所以有可得设.
点在圆C上，所以圆心到直线的距离,即，解得
，可得，所以的最大值是3.
【答案】A
7.【2014福建,理8】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） 学 ]
A. B .
C. D. 学 ]
【答案】B
8.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）
A.20 B.15 C.9 D.6
【解析】本题考点是平面向量的基本定理及向量的运算，由题意可知，，所以
，选C.
【答案】C
【模拟考场】
1.中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝，则＝( )
A．2－ B．－＋2 C．－ D．－＋
【解析】∵依题，所以.故选A
【答案】A
3.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【解析】设正方形边长为，以为原点建立平面直角坐标系，
则,，
依题意，，即，
解得.
【答案】B
4.设分别为的三边的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5.已知为圆上的三点，若，则与的夹角为 ．
【解析】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为.学 +
【答案】． 学
6.在平面直角坐标系中，给定，点为的中点，点满足，点满足.
（1）求与的值；（2）若三点坐标分别为，求点坐标.
（2）、、，由于为中点， .
设，又由（1）知
所以
可得，解之得
所以点的坐标为.
【答案】（1）；（2）点的坐标为.
