2019届二轮复习 平面向量 平面向量的数量积 学案 （全国通用）
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32 平面向量 平面向量的数量积
【考点讲解】
一、具本目标：
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
考纲解读：
1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；
2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.
3.备考重点：
(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；
(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.
二、知识概述：
一）主要公式：
1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=.
若=(,),=(,)，则·=.
2.向量的模：若=，则||=.
3.两向量的夹角余弦值：.
4.向量垂直的等价条件：.
二）主要知识点：
1.两个向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角．
（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，
夹角θ＝180°.
（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥.
2.平面向量数量积：
（1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，
即＝，其中θ是与的夹角．
规定.
当⊥时，θ＝90°，这时.
（2）的几何意义：学+ + ]
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
3.向量数量积的性质：
（1），.
（2）(θ为与的夹角).
（3）.
4.数量积的运算律
（1）交换律：.
, ,k ]
（2）分配律：
（3）对.
5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：
（1）.
（2）.
（3）
（4）(θ为与的夹角).
【真题分析】1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，
已知,则的值为（ ）
A.-15 B.-9 C.-6 D. 0
【答案】C
2.【2017北京，理6】设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】如果存在负数，使得，此时两向量方向相反，夹角为180°，一，两向量的数量积为：
成立.如果，此时两向量的夹角在90°到180°之间，两向量不一定是相反方向，也就是不一定存在一个负数，使得成立，所以是充分不必要条件.
【答案】A
3.【2014山东.理12】 在中，已知，当时，的面积为 .
【答案】
4. 【2016高考浙江理数】已知向量, ，若对任意单位向量，均有 ,则的最大值是 ．
【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．学
由题意可知，即最大值为.
【答案】
5.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 ．
【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，
在等腰梯形ABCD中,由∥,
得,, ,
所以= 学 ]
【答案】
6.【2016·江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，
·＝－1，则·的值是 ．
则【答案】 学 ]
7.【2017课标1，理13】已知向量的夹角为60°，，，则 .
【解析】本题考点是平面向量的数量积公式的运用，
法一：由题意可知
所以.
【答案】
法二：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，由平面几何的知识可以求出菱形对角线的长为.
【答案】
8.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .
【答案】
【模拟考场】
1.已知向量，，则（ ）
A．2 B．-2 C．-3 D．4
【答案】A
- 已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=.若n⊥（tm+n），
则实数t的值为（ ）
A.4 B.–4 C. D.–
【解析】由，可设，又，所以
.
所以，故选B.
【答案】B
3.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设，，∴，，
，
∴，故选B.
【答案】B
4.已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
5.设向量，，且，则的值为 ．
【解析】因为，所以有，可以得到，
则，应填答案. 学 …
【答案】2
6.在中，，，.若，，且，则的值为 .
【解析】由题意可知：，
，
学 ]
=，
所以可得.
【答案】
7.已知， ， ，若向量满足，则的取值范围是 ．
【答案】
8.已知两个不共线的向量，它们的夹角为θ，且，x为正实数．
(1)若与垂直，求tanθ；
(2)若θ＝，求的最小值及对应的x的值，并判断此时向量与是否垂直．
【解析】(1)因为与垂直，
所以.
所以，
所以32－2×3×1×cosθ－8×12＝0，
所以cosθ＝，
又θ∈(0，π)，sinθ＝＝，所以tanθ＝＝.
(2)
＝
故当x＝时，取最小值为，
此时
＝×9－3×1×cos＝0，
故向量与垂直. 学 =
