2019届二轮复习平面向量的基本定理及坐标表示学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1．平面向量基本定理及其应用

平面向量基本定理

如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．  

2．平面向量的坐标运算

1. 平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．

(2)若，则．

3．平面向量的坐标运算

(1)若，则；

(2)若，则．

(3)设，则，.

3．平面向量共线的坐标表示

向量共线的充要条件的坐标表示

若，则⇔.

【重点难点突破】

考点1  平面向量基本定理及其应用

【1-1】【2018届山东省日照市4月校际联合期中】在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

【1-2】【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】如图，在△中，点是线段上两个动点，   且 ，则的最小值为

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】分析：设，由共线可得，由此,利用基本不等式可得结果.

详解：如图可知x，y均为正，设，

共线，，

，

则，学  ]

，

则的最小值为，故选D.

点睛：利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

【领悟技法】   ]

1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．

2.特别注意基底的不唯一性：

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．   . ]

【触类旁通】

【变式一】如图，已知＝，用，表示，则等于(　　)

A.－   B.＋   C.－＋   D.－－

【答案】C

【解析】＝＋＝＋＝＋ (－)＝－＋，选C.

【变式二】【2018届四川省资阳市4月三诊】平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则（     ）

A．     B． 2

C．     D．  ]

【答案】D

考点2 平面向量的坐标运算

【2-1】已知向量，则（   ）

A．            B．              C．              D．

【答案】D

【解析】

又因为，所以,故选D.  学 .

【2-2】已知向量，且，则等于（   ）

A．1                B．3                   C．4               D．5

【答案】D

【解析】

因,,故,所以,故,故应选D.

【领悟技法】

注意向量坐标与点的坐标的区别：

要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．

【触类旁通】

【变式一】已知向量，，则（    ）

    A.                B.                 C.               D.

【答案】A

【解析】因为，所以=，故选A.

【变式二】在矩形中，，则实数（   ）

A．                      B．                     C.                        D．  

【答案】D

【解析】，故选D.

考点3  平面向量共线的坐标表示

【3-1】向量且，则（   ）

A．              B．            C．              D．

【答案】A

【解析】

【3-2】【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则        ．

【答案】

【领悟技法】  ]

1.向量共线的充要条件有两种：

（1）⇔.

（2）若，则⇔.

当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.

2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.

【触类旁通】

【变式一】已知向量，且，则（   ）

A．            B．              C．              D．

【答案】A

【解析】

由，可知，解得，故选A.

【变式二】设向量=，=，则“”是“//”的(   ).

A.充分而不必要条件                    B.必要而不充分条件

C.充分必要条件                        D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，，，此时；当时，，解得.所以“”是“”的充分而不必要条件.

考点4  平面向量共线的应用

【4-1】【2018届河南省洛阳市第三次统一考试】已知平面向量，，，若 则实数的值为（  ）

A．     B．     C． 2    D．

【答案】B

【4-2】如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为(   )

    A．                 B．            C．               D．

【答案】C

【课本回眸】

向量共线的充要条件有两种：

（1）⇔.

（2）若，则⇔.

【领悟技法】

当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便.  

【触类旁通】

【变式一】设两个向量，其中．若，则的最小值为      ．

【答案】  ]

【解析】 

   ]

【变式二】【2018届四川省雅安市三诊】在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】建立如图所示的坐标系：

则，，，，，即，，.

【易错试题常警惕】

易错典例：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量           ．  

易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解．

正确解析：以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.

设正方形的边长为，

则   

设  .又向量

所以，

温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.

【学 素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.

【典例】【2018届湖北省黄冈中学5月三模】直角梯形中，，.若为边上的一个动点，且，则下列说法正确的是（    ）

A． 满足的点有且只有一个    B． 的最大值不存在

C． 的取值范围是    D． 满足的点有无数个

【答案】C