2019届二轮复习（理）专题24平面向量的基本定理及其坐标表示学案（全国通用）


1.了解平面向量基本定理及其意义．　
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．　
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，称e1，e2为基底．若e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若e1，e2分别为与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底．
2.平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
3.平面向量的坐标运算
（1）设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；
(2)若a≠0，则与a平行的单位向量为±.
【必会结论】
1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且λ＋μ＝1常被当作隐含条件运用．
3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．

高频考点一　平面向量基本定理的应用
例1、在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)
A.a－b B.a＋b
C．－a＋b D．－a－b
答案　B
解析　如图，设＝λ，


由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝.
故＝λ＝λ＝a＋b.故选B.
【举一反三】(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.
(2)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为 ．


答案　(1)D　(2)

(2)设＝k，k∈R.
因为＝＋＝＋k
＝＋k(－)＝＋k(－)
＝(1－k)＋，
且＝m＋，
所以1－k＝m，＝，
解得k＝，m＝.
【感悟提升】应用平面向量基本定理表示向量的方法
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；
(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
【举一反三】如图，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.


【变式探究】(1)如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝ .

(2)(如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ . ]

解析　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
(2)由题意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
答案　(1)a＋b　(2)
高频考点二　平面向量的坐标运算
例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．
【举一反三】(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A.(－23，－12) B.(23，12)
C.(7，0) D.(－7，0)
(2)向量a，b，c在正方形 格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4


答案　(1)A　(2)D
【变式探究】 (1)已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)
A.(7，4) B.(7，14)
C.(5，4) D.(5，14)
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为 .
解析　(1)设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5).
由＝3a，得解得
(2)由向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，
得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
则解得故m－n＝－3.
答案　(1)D　(2)－3
高频考点三　向量共线的坐标表示
例3、已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值． ]

(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)．
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
【方法技巧】利用两向量共线解题的技巧
(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【举一反三】(1)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝ .
(2)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为 .
解析　(1)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，
得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4.
从而b＝(－2，－4)，
那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).
(2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，
则＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
即解得所以点P的坐标为(8，－15).
答案　(1)(－4，－8)　(2)(8，－15)
【变式探究】 (1)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)
A. B.
C. D.
(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为 .

答案　(1)A　(2)－
【感悟提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．
【举一反三】设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为 ．
答案　
解析　由题意得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，
又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，
即整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2)＝(当且仅当b＝a时，等号成立)．
高频考点四、解析法(坐标法)在向量中的应用
例4、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，


【感悟提升】本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．
【方法技巧】
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值．
高频考点五 坐标法求向量中的最值问题
例5、[2017·全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3 B．2 C. D．2

答案　A
【方法技巧】本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出λ＋μ的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.
【变式探究】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，



1. （2018年全国I卷理数）在△中，为边上的中线， 为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得

，
所以，故选A. 学 .
2. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．
【答案】3
]
1．[2017·山东高考]已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝ .
答案　－3
解析　∵a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.
2.【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，以为轴， 的垂直平分线为轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，则， ， ，设，所以， ， ，所以， ，当时，所求的最小值为，故选B．

1.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,
===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】B


【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B． 15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，


【2015高考湖北，理11】已知向量，，则 .
【答案】9

1．（2014·重庆卷） 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)
A．－ B．0
C．3 D.
【答案】C　
【解析】∵2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(2a－3b)⊥c，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.
2．（2014·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
【答案】B　
【解析】由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.
3．（2014·山东卷） 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
【解析】(1)由题意知，f(x)＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图像过点和点，
所以
即
解得m＝，n＝1.

4．（2014·陕西卷） 设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝ ．
【答案】　
【解析】因为向量a∥b，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝.
5．（2014·陕西卷） 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
【解析】(1)方法一：∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
∴解得
即＝(2，2)，故||＝2. ]

(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴

两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
6．（2013·安徽卷） 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
【答案】D　
【解析】由||＝||＝·＝2，可得点A，B在圆x2＋y2＝4上且∠AOB＝60°，在平面直角坐标系中，设A (2，0)，B(1，)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(2，0)＋μ(1，)，由此得x＝2λ＋μ，y＝μ，解得μ＝，λ＝x－y，由于|λ|＋|μ|≤1，学 .
所以x－y＋y≤1，
即|x－y|＋|2y|≤2 .
①或②或
③或④
上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 .

7．（2013·湖南卷） 已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．1，＋2
【答案】A　

8．（2013·北京卷） 向量a，b，c在正方形 格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝ ．

图1－3
【答案】4　
【解析】以向量a和b的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x轴和y轴建立直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，则解得所以＝4.
9．（2013·辽宁卷） 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A　
【解析】∵＝(3，－4)，∴与方向相同的单位向量为＝，故选A.
10．（2013·天津卷） 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为 ．
【答案】　

11．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝ ．
【答案】2　
【解析】如图，建立直角坐标系，

则＝(1，2)，＝(－2，2)，·＝2.
12．（2013·重庆卷） 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．

图1－9
【解析】(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.

13．（2013·重庆卷） 在平面上，⊥，|OB1|＝||＝1，＝＋.若||＜，则||的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.

【答案】D　
【解析】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，