2019届二轮复习 平面向量 平面向量的坐标运算 学案 （全国通用）
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33 平面向量 平面向量的坐标运算
【考点讲解】
一、具本目标：平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义.
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
考点透析：
1.掌握求向量坐标的方法，掌握平面向量的坐标运算.
2.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线，解三形等有关的问题.
3.用坐标表示的平面向量的共线条件是高考考查的重点，分值5分.一般是中低档题.
二、知识概述：平面向量的坐标运算
1）平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2)平面向量的坐标表示:
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．
(2)若，则．
3）平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则，.学 ]
平面向量的坐标运算技巧：向量的坐标表示又是向量的代数表示，是向量数与形的完美结合.向量的坐标运算主要利用加、减、乘的运算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标.
比如：，则
注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．
【真题分析】
1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）
A.－8 B.－6 C.6 D.8
【答案】D
2.【2015高考新课标1，文2】已知点，向量，则向量( )
A. B. C. D.
【解析】本题考点是向量的坐标运算.由题意可知：，所以=(-7,-4)，故选A.
【答案】A
3.【2014四川，文理】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）
A． B． C． D．
, ,k ]
【答案】 D.
4.【优选题】平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足
，其中且，则点C的轨迹方程为 （ ）
A. B.
C. D.
【解析】本题考点是向量的坐标运算与共线向量的性质的应用.
法一：由题意可设，则
由得
于是 先消去，由得
再消去得.所以选取D.
法二、由平面向量共线定理，当， 时，A、B、C共线
因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得.即选D
【答案】D 学
5.【2018年全国卷Ⅲ理数】已知向量．若∥，则 ．
【答案】
6.【2018年北京卷文】设向量若，则= .
【解析】本题考点是向量的坐标运算，由题意可得： .
由得到
【答案】-1
7.【2017江西新余、宜春联考】若向量，，则 ．
【解析】本题考点是向量坐标的运算，由题意可得．
【答案】
8.【2016高考预测题】已知向量
（1）若，求的值； （2）若求的值。
【解析】⑴因为，所以 于是，故
⑵由知，所以
从而，即，
于是.
又由知，，所以，或.
因此，或
【答案】（1）（2）.
【模拟考场】
1.已知平面向量，如果，那么（ ）
A． B． C．3 D．
【解析】由题意，得，则，则；故选B．
【答案】B
2.已知点，向量，则向量( )
A. B. C. D. , ,k ]
【答案】A
3.已知向量，且，则等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【解析】∵，∴，∴，∴，
故选B.
【答案】B
4.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】因为，所以=（5，7），故选A.
【答案】A
5.已知向量，且，则实数=（ ）
D.
【答案】C
6.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．
【答案】
7.已知点，线段的中点的坐标为．若向量与向量共线，则 ．
【解析】由题设条件，得，所以．因为向量与向量共线，所以，所以．学
【答案】
8.已知向量，则 ．
【解析】.
【答案】
9.设，向量，若，则 .
【答案】
10．已知向量和, 且
则的值 .
法二:
=
===
由已知 得: .
.
