2019届二轮复习平面向量学案（全国通用）

2019年高考数学二轮复习创新课堂

考情速递

1真题感悟

真题回放

1.(2018年新课标Ⅱ文)已知向量a,b满足|a|＝1,a·b＝－1,则a·(2a－b)＝(    )

A.4                  B.3             C.2                 D.0

【答案】B 

【解析】由题意,a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.

2. 2018年浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2-4e•b+3=0，则|a-b|的最小值是（　　）

A．-1        B．+1       C．2      D．2-

【答案】A

【解析】由b2-4e•b+3=0，得(b-e)·(b-3e)=0，∴（b-e）⊥（b-3e），如图，不妨设e=(1，0)，则b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a与e的夹角为，则a的终点在不含端点O的两条射线y=±x（x＞0）上．不妨以y=x为例，则|a-b|的最小值是（2，0）到直线x-y=0的距离减1．即-1=-1．故选A．

3．（2018年北京）设向量a=（1，0），b=（-1，m）．若a⊥（ma-b），则m=　  　．

【答案】-1

【解析】向量a=（1，0），b=（-1，m）．ma-b=（m+1，-m）．∵a⊥（ma-b），∴m+1=0，解得m=-1．故答案为-1．

4.(2018年新课标Ⅲ文)已知向量a＝(1,2),b＝(2,－2),c＝(1,λ).若c∥(2a＋b),则λ＝        .

【答案】

【解析】(2a＋b)＝2(1,2)＋(2,－2)＝(4,2),由c∥(2a＋b),得＝,解得λ＝.

2热点题型

题型一：平面向量的概念以及线性运算

例1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（　　）

A．﹣ B．﹣ C．+ D．+

【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．

【答案】A

【解析】：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

=﹣=﹣

=﹣×（+）

=﹣，

故选：A．

题型二：平面向量基本定理及坐标表示

例2．（2018•南开区三模）向量，，在单位正方形 格中的位置如图所示，则•（）=　3　．

【分析】首先以向量的起点为原点，分别以水平方向和竖直方向为x轴、y轴建立坐标系，将三个向量用坐标表示，再进行运算．

【答案】：3

【解析】如图建立平面直角坐标系，

则=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3， 2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3），

∴=（0，1），

∴=（1，3）•（0，1）=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了向量的坐标运算，包括向量的加法运算、数量积的坐标运算，关键是正确建立坐标系，将向量坐标化，再进行运算．

变式训练2

（2018•新余二模）已知向量，，，若，则=　　．

【答案】

题型三平面向量的数量积

例3（2018年天津）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则·值为（　　）

A．-15 B．-9 C．-6 D．0

【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，

再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可．

解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，

由题意求得的值．

【答案】C

∴cos∠OMN===，

∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6．

解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，

由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，

知=﹣=3﹣3=﹣3+3，

∴=（﹣3+3）•

=﹣3+3•

=﹣3×12+3×2×1×cos120°

=﹣6．

故选：C．

变式训练4

（2018•昌平区二模）向量，在边长为1的正方形 格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是　　；向量，所张成的平行四边形的面积是　3　．

【答案】，3

【解析】：如图所示，建立直角坐标系，不妨取=（2，1），=（1，2），

则===．向量，所张成的平行四边形的面积

S=••sin=×=5×=3．

故答案分别为：，3．

学  ]

3新题预测

1.如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【答案】A

【解析】：由已知条件知，AB=，∠OAB=45°；

又，；

∴===．

故选：A．

2．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，，则的最大值是（　　）

A． B． C． D．1

【答案】：A

=||2﹣||•||cos＜，（）＞

=1﹣×cos＜，（）＞，

∴当＜，（）＞=180°时，取最大值1+．

故选：A．

专项训练  平面向量

一.选择题

1. （2018•延安模拟）在△ABC中，点D在边AB上，=，设=，=，则=（　　）

A．+ B．+ C．+ D．+

【答案】：B

【解析】∵，

∴，解得．

∴．

故选：B．

2. （2018•山西一模）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设=，=，则向量=（　　）

A．+ B．﹣﹣ C．﹣+ D．﹣

【答案】：C

3. （2018•玉溪模拟）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】：A

【解析】∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）

∵=﹣，

∴=（﹣﹣）=﹣+

故选：A．

4. （2018•泸州模拟）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||=，则）的取值范围是（　　）

A．[0，12] B．[0，] C．[0， 6] D．[0，3]

【答案】：A

5. （2018•资阳模拟）平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=（　　）

A． B．2 C． D．

【答案】：D

【解析】∵，．

∴=，∴⇒

则λ+μ=．

故选：D．

6. （2018•洛阳三模）已知平面向量，，，若，则实数k的值为（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】：B

【解析】∵平面向量，，，

∴=（2+k，﹣1+k），

∵，

∴，

解得k=．

∴实数k的值为．

故选：B．

7. （2018•曲靖一模）如图，在△ABC中，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【答案】：D

=+（﹣）

=﹣+；

又=λ+μ，

∴λ=﹣，μ=，

∴λ+μ=﹣+=﹣．

故选：D．

8.（2018•惠州模拟）在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=3，=2，则=（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．

【答案】：C

【解析】如图，

；

∴；

∴；

∴

=

=

=．

故选：C．

9. （2018•琼海模拟）如图，ABCD是边长为8的正方形，若DE=，且F为BC的中点，则=（　　）

学   ]

A．10 B．12 C．16 D．20

【答案】：D

学  ]

10. （2018•宁城县一模）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（　　）

A．2﹣ B．1 C． D．2

【答案】：C

【解析】：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，

建立如图所示平面直角坐标系，则：

A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；

∴；

∴x=1；

∴F（1，2），；

∴．

故选：C．

11. （2018•马鞍山三模）已知两点M（﹣1，0），N（1，0）若直线3x﹣4y+m=0上存在点P满足，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞） B．（﹣∞，﹣25]∪[25，+∞） C．[﹣25，25] D．[﹣5，5]

【答案】：D

12.（2018•济宁二模）设非零向量，，满足=0，||=2，＜，＞=120°，则||的最大值为（　　）

A．1 B． C． D．2

【答案】：C

【解析】：如图所示构造△ABC，   |  |X|X|K]

使=，=，=，||=2，

∠BAC=60°，

∴＜，＞=180°﹣∠BAC=120°，

△ABC中，由正弦定理得，

====，

∴||=sinB，

当sinB=1，即B=90°时，||取得最大值为．

故选：C．

二、填空题

13. （2018•开封三模）已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2|=1，则||=　　．

【答案】：

14.（2018•乐山三模）在边长为3的正三角形ABC中，D是BC上的点，=2，则•=　　

【答案】：

【解析】：如图，∵；∴；

∴

=

=

=

=．

故答案为：． 学  ]

15. （2018•静海区校级模拟）已知A，B，C为单位圆O上任意三点，=0，=，=﹣，若OA的中点为E，则的值为　　．

【答案】：．

OA的中点为E（﹣，﹣）；

∴=（﹣，﹣﹣1，）•（1，﹣1）=﹣++1=．

故答案为：．

16.（2018•呼和浩特一模）在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是　　．

【答案】：．

整理得：2t2﹣3t≤0；

解得；

∴实数t的取值范围是．

故答案为：．