2019届二轮复习　平面向量学案（全国通用）

第4练　平面向量
[明晰考情]　1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查向量的有关知识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度．

考点一　平面向量的线性运算
要点重组　(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘．
(2)共线向量定理．
(3)平面向量基本定理．
方法技巧　(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减．
(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.
(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决．
1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－
B.－
C.＋
D.＋
答案　A
解析　作出示意图如图所示．

＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)
＝－.
故选A.
2.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)

A. B.
C．1 D．3
答案　B
解析　∵＝，∴＝，
∴＝m＋＝m＋.
又B，N，P三点共线，
∴m＝.
3.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A．2 B.　C. D.
答案　D
解析　方法一　如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1)．

∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝，
∴解得故λ＋μ＝.
方法二　以，作为基底，
∵M，N分别为BC，CD的中点，
∴＝＋＝＋，
＝＋＝－，
∴＝λ＋μ＝＋，
又＝＋，
因此解得
所以λ＋μ＝.
4．已知AB，DC为梯形ABCD的两腰，若＝(－1,3)，＝(1－x，2x)，则x＝_____.
答案　3
解析　由梯形的性质知，∥，且同向，
则－1·2x－3(1－x)＝0，解得x＝3.
5．在△ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足BM＝3CM，若＝x＋y，则x－y＝________.
答案　－2
解析　因为＝＋＝＋，＝－，
所以＝＋(－)＝－，
所以x＝－，y＝，则x－y＝－2.
考点二　平面向量的数量积
要点重组　(1)a·b＝|a||b|cos θ.
(2)|a|2＝a·a；cos θ＝.
方法技巧　(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法．
(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法．
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为(　　)
A．－ B．－　C. D.
答案　A
解析　b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－.
7．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．－1
答案　B
解析　方法一　(解析法)
建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)．设P点的坐标为(x，y)，

图①
则＝(－x，－y)，
＝(－1－x，－y)，
＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)
＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
故选B.
方法二　(几何法)
如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.

图②
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，
问题转化为求||||的最大值．
又当点P在线段AD上时，
||＋||＝||＝2×＝，
∴||||≤2＝2＝，
∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.
故选B.
8．已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案　A
解析　||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝.
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
9．(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．
答案　
解析　由已知可得≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，
由于上式对任意单位向量e都成立．
∴≥|a＋b|成立．
∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.
即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.
10．在平面内，·＝·＝·＝6，动点P，M满足||＝2，＝，则||2的最大值是________．
答案　16
解析　由已知易得△ABC是等边三角形且边长为2.设O是△ABC的中心，则||＝||＝||＝2.
以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，
如图所示，

则A(2,0)，B(－1，－)，C(－1，)．
设P(x，y)，由已知||＝2，
得(x－2)2＋y2＝4.∵＝，
∴M，∴＝，
∴||2＝，
它表示圆(x－2)2＋y2＝4上的点P(x，y)与点D(－1，－3)的距离的平方的，
∵||max＝＋2＝＋2＝8，
∴||＝＝16.
考点三　平面向量的综合应用
方法技巧　(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题．
(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题．
11．(2018·温州模拟)如图已知△ABC的边BC的垂直平分线交BC于Q，交AC于P，若||＝1，||＝2，则·的值为(　　)

A．3 B. C. D.
答案　B
解析　因为BC的垂直平分线交AC于Q，所以·＝0，·＝·＝·＋·＝＝＝，故选B.
12．如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝120°，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB, M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为(　　)

A. B.
C．1 D.
答案　C
解析　· ＝·＝2＋·＋·
＝1＋||cos150°＋||·||cos120°≤1＋0×＋0×＝1，当且仅当M点与O点重合时取等号，故选C.
13．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋ ＝x＋y，则＋的最小值为(　　)

A. B．2
C. D.
答案　D
解析　由题图可知x，y均为正，设＝m＋n，＝λ＋μ，∵B，D，E，C共线，
∴m＋n＝1，λ＋μ＝1，
∵＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，
则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，
∴＋＝＝≥＝，
当且仅当x＝，y＝时，等号成立．
则＋的最小值为，故选D.
14．(2018·浙江省名校协作体联考)设数列{xn}的各项都为正数且x1＝1.△ABC内的点Pn(n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为2∶1，若＋xn＋1·＋(2xn＋1)＝0，则x4的值为(　　)
A．15 B．17
C．29 D．31
答案　A
解析　由＋xn＋1＋＝0得＋(2xn＋1)·＝－xn＋1 ，
设＝(2xn＋1)，
以线段PnA，PnD 作出平行四边形AEDPn ，如图，

则＋＝＝－xn＋1，
∴＝，
∴＝ , ＝＝，
∴＝＝，
则＝＝，
即xn＋1＝2xn＋1，
∴xn＋1＋1＝2(xn＋1),
则{xn＋1} 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以x4＋1＝2×23＝16 ，所以x4＝15.故选A.
15．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1, ＝x＋y且x＋y＝1，函数f(m)＝|－m|的最小值为，则||的最小值为________．
答案　
解析　在△ABC中，∠ACB为钝角， AC＝BC＝1，
函数f(m)的最小值为.
∴函数f(m)＝|－m|
＝
＝≥，
化为4m2－8mcos∠ACB＋1≥0恒成立．
当且仅当m＝＝cos∠ACB时等号成立，
代入得到cos∠ACB＝－(舍去正值)，
∴∠ACB＝.
∴2＝x22＋y22＋2xy·
＝x2＋y2＋2xy×cos
＝x2＋(1－x)2－x(1－x)
＝32＋，
当且仅当x＝＝y时， 2取得最小值，
∴的最小值为.

1．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
答案　B
解析　选项B中，当向量a，b反向及不共线时，
有|a－b|＞，故B中关系式不恒成立．
2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋＝0，且||＝||，则·等于(　　)
A. B. C．3 D．2
答案　C
解析　∵＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，
又△ABC的外接圆的半径为1，||＝||，∴BC＝2，AB＝1，CA＝，∠BCA＝30°，
∴·＝||||·cos 30°＝×2×＝3.
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．
答案　∪
解析　a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，由a·(a＋λb)＞0，可得λ＞－.
又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.故λ＞－且λ≠0.
4．向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，若|λa－b|的最小值为2(λ∈R)，则a·b＝______.
答案　8
解析　向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，
即a·b＝b2.
若|λa－b|＝＝≥2(λ∈R)，
化为16λ2－2λa·b＋a·b－4≥0对于λ∈R恒成立，
∴Δ＝4(a·b)2－64(a·b－4)≤0，
化为(a·b－8)2≤0，
∴a·b＝8.
解题秘籍　(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质．
(2)注意向量夹角的定义和范围．在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和a·b＞0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理)．

1．(2018·金华模拟)已知平面向量a，b，c，满足＋＝，且|a|＋|b|＋|c|＝4，则c·(a＋b)的最大值为(　　 )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　由题意可得＋＝，
可得〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°，
故c·(a＋b)＝ ，
将|a|＋|b|＋|c|＝4两边同时乘以|c|，
可得|a||c|＋|b||c|＝－|c|2＋4|c|，
故c·(a＋b)＝ ＝ ＝，
故[c·(a＋b)]max＝＝2.
2．若||＝1，||＝4，·＝2，＋＝，则△ABC的面积是(　　)
A．1 B．2 C. D．2
答案　C
解析　因为＋＝，
所以＝－＝，＝－＝，
又||＝1，||＝4，
所以||＝1，||＝4，·＝2，即·＝2.
设与的夹角为θ，易知θ与∠BCA互为对顶角，
所以θ＝∠BCA.
由·＝||·||cos θ＝1×4cos θ＝2，
得cos θ＝，∠BCA是三角形的内角，sin∠BCA＝sin θ＝，
所以S△ABC＝||·||sin∠BCA＝.
3．(2018·诸暨月考)平行四边形ABCD中，，在上的投影分别为3，－1，则在上的投影的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－1,3)
C．(0，＋∞) D．(0,3)
答案　A
解析　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，0)，∠CBD＝θ，

则C(3，b)，D(a－1，b),
则3－(a－1)＝a，解得a＝2 .
所以D(1，b)，C(3，b) .
在上的投影为||cos θ＝cos θ.
当b→0 时，cos θ→－1 ，得BM→－1 .
当b→＋∞ 时，θ→0 ，得BM→＋∞.
故选A.
4．(2018·浙江湖州、衢州、丽水三市联考)已知O是△ABC的外心，∠C＝45°，则＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是(　　)
A．[－，] B．[－，1)
C．[－，－1] D．(1，]
答案　B
解析　由题意∠C＝45°，所以∠AOB＝90°，以OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A(1,0)，B(0,1)，则C在圆O的优弧AB上，设C(cos α，sin α)，则α∈，
显然＝cos α＋sin α，

即m＝cos α，n＝sin α， m＋n＝cos α＋sin α＝sin，
由于α∈，所以α＋∈， sin∈，
所以m＋n∈[－，1)，故选B.
5．(2018·浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三点A，B，C，则·＋·＋·的值为(　　)
A．正数 B．负数
C．0 D．以上说法都有可能
答案　B
解析　·＋·＋·
＝×2(·＋·＋·)
＝[(·＋·)＋(·＋·)＋(·＋·)]
＝[·(＋)＋·(＋)＋·(＋)]
＝(·＋·＋·)
＝(－2－2－2)<0.
即·＋·＋·的值为负数．
6．设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，若＝λ1＋λ2，则(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案　A
解析　设＝λ1，＝λ2.因为O是△ABC的内心，所以AO平分∠BAC，所以平行四边形AMON为菱形，且λ1>0，λ2>0，由||＝||，得|λ1|＝|λ2|，即λ1c＝λ2b，亦即＝，故选A.
7．(2018·浙江省新昌中学、台州中学等联考)如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB＝2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则·的最大值是(　　)

A．2 B．1 C．0 D．－1
答案　B
解析　连接BC，则∠ACB＝90°，
∵AP⊥PC，
∴·＝·＝·＝·＝2，
依题意可证Rt△APC∽Rt△ACB，则＝，
即|PC|＝.
∵|AC|2＋|CB|2＝|AB|2，
∴|AC|2＋|CB|2＝4≥2|AC||CB|，
即|AC||CB|≤2，当且仅当|AC|＝|CB|＝时取等号，
∴|PC|≤1，
∴·＝2≤1，
∴·的最大值为1，故选B.
8．(2018·浙江省嘉兴一中、杭州高级中学等联考)设a1，a2，a3，a4∈R，且a1a4－a2a3＝1，记f(a1，a2，a3，a4)＝a＋a＋a＋a＋a1a3＋a2a4，则f(a1，a2，a3，a4)的最小值为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
答案　B
解析　设m＝(a1，a2)，n＝，
因为a1a4－a2a3≠0，所以m，n不共线，
则f(a1，a2，a3，a4)＝|m|2＋|n|2＋m·n，
记cos θ＝，θ∈(0，π)，
则S△＝|m||n|sin θ＝|m||n|
＝|a1a4－a2a3|＝⇒|m||n|＝⇒f(a1，a2，a3，a4)
≥2|m||n|＋m·n＝＋≥(利用三角函数的有界性)．
9．(2018·浙江省嘉兴市第一中学模拟)设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b ＝________，e1与e2的夹角为________．
答案　2　
解析　因为＝2，所以a·b＝2.
设e1与e2的夹角为θ，则＝
＝＝2|e1|·|e2|cos θ＋1＝2，
解得cos θ＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
10．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，＝m＋，则的最小值为________， 又若⊥，则m＝________.
答案　　
解析　因为·＝||·||·cos A＝3，
所以2＝2
＝m22＋2m·＋2
＝9m2＋6m＋4＝(3m＋1)2＋3 ，
所以当3m＋1＝0时， 取最小值；
因为⊥，
所以·＝·
＝(m－1)·－m2＋2＝3(m－1)－9m＋4＝0，
解得m＝.
11．(2018·浙江省杭州市第二中学月考)已知点M为单位圆x2＋y2＝1上的动点，点O为坐标原点，点A在直线x＝2上，则·的最小值为________．
答案　2
解析　设A(2，t)，M(cos θ，sin θ)θ∈[0,2π]，
则＝(cos θ－2，sin θ－t)，＝(－2，－t)，
所以·＝4＋t2－2cos θ－tsin θ.
又(2cos θ＋tsin θ)max＝，
故·≥4＋t2－.
令s＝，则s≥2，又4＋t2－＝s2－s≥2，
当s＝2 即t＝0时等号成立，故min＝2.
12．若向量a，b满足a2＋a·b＋b2＝1，则的最大值为________．
答案　
解析　因为2＋2＝2a2＋2b2，2－2＝4a·b，
所以＋＝1，
即＋＝1，
即2＝－≤，
故≤.