2019届二轮复习压轴小题抢分练(6)作业（全国通用）
展开2019届二轮复习 压轴小题抢分练 (6) 作业（全国通用）
1.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(θ为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程.
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.
当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,
当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率
k=tan α=-2.
2.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2,
证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4.
(2)a+b≤2.
【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)
≤2+(a+b)=2+,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
3.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(θ为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标.
(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.
【解题指南】本题主要考查参数方程及普通方程的互化.
【解析】(1)a=-1时,直线l的方程为x+4y-3=0.
曲线C的标准方程是+y2=1,
联立方程解得:或
则C与l的交点坐标是和.
(2)直线l一般式方程是x+4y-4-a=0.
设曲线C上点P.
则P到l的距离d=
=,其中tan φ=.
依题意得:dmax=,解得a=-16或a=8.
4.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集.
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
【解析】方法一:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①
当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1,
当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,
从而1<x≤,
所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)依题意得:-x2+ax+4≥2在恒成立.
即x2-ax-2≤0在恒成立.
则只需解得-1≤a≤1.
故a取值范围是.
方法二:将函数g(x)=|x+1|+|x-1|化简,可得g(x)=
(1)当a=1时,作出函数图象可得f(x)≥g(x)的范围在F和G点中间,联立可得点F(-1,2).联立可得点G,因此可得解集为.
(2)即f(x)≥g(x)在[-1,1]内恒成立,故而可得-x2+ax+4≥2⇒x2-2≤ax恒成立,根据图象可得:函数y=ax必须在l1,l2之间,故而可得-1≤a≤1.
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