2019届二轮复习压轴小题抢分练(4)作业（全国通用）

2019届二轮复习   压轴小题抢分练 (4)   作业（全国通用）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若E上存在一点P使得|+|=b,则E的离心率的取值范围是              (　　)

A.　　 B.

C.　　 D.(1,]

【解析】选C.根据题意有b=|+|≥||PF1|-|PF2||=2a,所以有2a≤b,即4≤==e2-1,整理可得e2≥5,解得e≥.

2.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD中点,过点B1且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为              (　　)

A.5　　 B.2　　 C.2　　 D.6

【解析】选C.取BC中点M,取A1D1中点N,则四边形B1MDN即为所求的截面,

根据正方体的性质,可以求得MN=2,B1D=2,

根据各边长,可以断定四边形B1MDN为菱形,

所以其面积S=×2×2=2.

3.如图所示的是函数y=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<在区间上的图象,将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变),再向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于直线x=对称,则m的最小值为              (　　)

A.　　 B.　　 C.　　 D.

【解析】选C.由函数y=sin(ωx+φ)的图象可得T==π-=π,所以ω=2.

再由五点法作图可得 2×+φ=0,所以φ=.

故函数f(x)的解析式为 f(x)=sin.

把f(x)=sin的图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变),再向右平移m(m>0)个单位长度后,得到g(x)=sin的图象,

因为所得图象关于直线x=对称,

所以4×-4m+=+kπ,

解得:m=π-kπ,k∈Z,

所以由m>0,可得当k=1时,m的最小值为.

4.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线与E的右支交于A,B两点,M,N分别是AF2,BF1的中点,O为坐标原点,若△MON是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则E的离心率是              (　　)

A.5　　 B.　　 C.　　 D.

【解析】选D.如图所示,

由题意可得:ON∥AB,

结合△MON是以O为直角顶点的等腰直角三角形可得:OM⊥AB,

结合OM∥AF1可得:AF1⊥AB,

令OM=ON=x,则AF1=2x,AF2=2x-2a,

BF2=2x,BF1=2x+2a,

在Rt△ABF1中:(2x)2+(4x-2a)2=(2x+2a)2,

整理计算可得:x=a .

在Rt△AF1F2中,(2x)2+(2x-2a)2=(2c)2,

即(3a)2+a2=(2c)2,计算可得:e2==,

所以e=.

5.设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.下列说法错误的是              (　　)

A.函数f(x)为偶函数

B.当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x)

C.当x∈R时,f(f(x))≤f(x)

D.当x∈[-4,4]时,|f(x)-2|≥f(x)

【解析】选D.结合新定义的运算绘制函数f(x)的图象如图1中实线部分所示,

观察函数图象可知函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数,选项A的说法正确;

对于选项B,若x∈[1,3],则x-2∈[-1,1],

此时f(x-2)=(x-2)2,

若x∈(3,+∞),则x-2∈(1,+∞),此时f(x-2)=|(x-2)-2|=|x-4|,

如图2所示,观察可得,恒有f(x-2)≤f(x),选项B的说法正确;

对于选项C,由于函数f(x)为偶函数,故只需考查x≥0时不等式是否成立即可,

若x∈[0,1],则f(x)∈[0,1],此时f(f(x))=f(x2)=x4,

若x∈(1,3),则f(x)∈[0,1],此时f(f(x))=f(|x-2|)=(x-2)2,

若x∈[3,+∞),则f(x)≥1,此时f(f(x))=f(|x-2|)=|x-4|,

如图3所示,观察可得,恒有f(f(x))≤f(x),选项C的说法正确;

对于选项D,

若x=-4,则f(x)=f(-4)=2,|f(x)-2|=|2-2|=0,

不满足|f(x)-2|≥f(x),选项D的说法错误.

6.如图,F为抛物线x2=2y的焦点,直线y=kx+3(k>0)与抛物线相交于A,B两点,若四边形AOFB的面积为7,则k=              (　　)

A.　　 B.　　 C.　　 D.

【解析】选A.联立直线方程与抛物线方程

可得:x2-2kx-6=0,①

由根与系数的关系有x1+x2=2k,x1x2=-6,

则|x1-x2|==2,

直线AB恒过定点(0,3),

则S△ABO=×3×|x1-x2|=3 .

求解方程①可得:x=k±,

则xB=k-,

抛物线的焦点坐标为F,

则△BOF的面积

S△BOF=××|xB|=(-k),

则四边形AOFB的面积S=S△AOB-S△BOF,

即3-(-k)=7,

求解关于k的方程可得:k1=,k2=-,

结合题中的图形可知k>0,故k=.

7.已知函数f(x)= 函数y=f(x)-a 有四个不同的零点,从小到大依次为x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,则x1x2+x3x4 的取值范围为              (　　)

A.[4,5)　　 B.(4,5]　　 C.[4,+∞)　　 D.(-∞,4]

【解析】选A.函数f(x)=

函数y=f(x)-a 的零点,

就是y=f(x)的图象与y=a交点的横坐标,

x3,x4是方程x+-3=a(x>0)的两根,

即为x2-(a+3)x+4=0的两个根,

由根与系数的关系可得x3x4=4,

x1,x2是=a(x≤0)的两根,

因为y=的图象向左平移一个单位可得到y=的图象,

又因为y=的图象关于y对称,

所以y=关于x=-1对称,

所以x1+x2=-2,

且x1<x2≤0,-x1>-x2≥0,-x1-x2=2,

所以x1x2=(-x1)×(-x2)≤=1,

因为x1≠x2,所以x1x2<1,

所以4≤x1x2+x3x4<5,只有选项A符合题意,故选A.

8.我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图,其中正视图及侧视图均为等腰梯形,两底的长分别为2和4,高为2,则该刍童的表面积为              (　　)

A.12　　    B.40

C.16+12　　   D.16+12

【解析】选D.由三视图可知,该刍童的直观图是如图所示的六面体A1B1C1D1-ABCD,图中长方体上下底面棱长为4,侧棱长为2,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是所在长方体棱的四等分点,其表面由两个全等的矩形与四个全等的等腰梯形组成,矩形面积为2×4=8,梯形的上下底分别为2,4,梯形的高为FG==,梯形面积为×(2+4)×=3,所以该刍童的表面积为2×8+4×3=16+12.

9.在三棱锥A-BCD中,△BCD是边长为2的等边三角形,∠ABC=∠ABD=,AB=3,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为              (　　)

A.　　 B.19π　　 C.　　 D.π

【解析】选A.根据题意画出三棱锥,如图.

由∠ABC=∠ABD,所以AB在面BCD上的投影为底面正三角形的角平分线BE(E为CD中点),

·=(+)·=·+=·(+)+=0,

即AE⊥面BCD,记F为等边三角形BCD的中心,OF∥AE,球心一定在OF上,设球半径为R,AB=3,BE=,AE=,R==,解得R2=,S=4π×= .

10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=3|OM|,则椭圆C的离心率为

(　　)

A.　　 B.　　 C.　　 D.

【解析】选A.因为|OA|=|OF2|=3|OM|,

所以∠F1AF2=90°,

设|AF1|=m,|AF2|=n,

如图所示,由题意可得Rt△AF1F2∽Rt△OMF2,

所以==,

则m+n=2a,m2+n2=4c2,n=3m,

所以5a2=8c2,解得e==.

11.已知函数f(x)=若f(x)的两个零点分别为x1,x2,则|x1-x2|= (　　)

世纪金榜导学号

A.   B.1+   C.2   D.+ln2

【解析】选C.当x≤0时,令f(x)的零点为x1,则x1+2=,所以=-(-x1)+2,

所以-x1是方程4x=2-x的解,

当x>0时,设f(x)的零点为x2,则log4x2=2-x2,

所以x2是方程log4x=2-x的解.

作出y=log4x,y=4x和y=2-x的函数图象,如图所示:

因为y=log4x和y=4x关于直线y=x对称,y=2-x与直线y=x垂直,所以A,B关于点C对称,

解方程组得C(1,1).所以x2-x1=2.

所以|x1-x2|=2.

12.设函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则+的取值范围是              (　　)

世纪金榜导学号

A.(-3,+∞)    B.(-∞,3)

C.[-3,3)    D.(-3,3]

【解析】选D.作出函数f(x)和t(x)=a的图象(如图所示),

若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x1<x2<x3<x4,

则x1+x2=-4,-log2x3=log2x4=a且0<a≤2,

即x1+x2=-4,x3=,且1<x4≤4,

则+=x4-在区间(1,4]上单调递增,

则-3<x4-≤3,

即+的取值范围为(-3,3].

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.已知等差数列{an}中,a2+a4=16,a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,把各项如图排列:

a1

a2　a3　a4

a5　a6　a7　a8　a9

a10　a11　a12　a13　a14　a15　a16

a17　a18　a19　a20　a21　a22　a23　a24　a25

则从上到下第10行,从左到右的第11个数值为________. 

【解析】设数列的首项为a1,公差为d,由题意可得:

解得d=3,a1=2,

则数列的通项公式

an=a1+(n-1)d=3n-1.

第10行第11个数的下标为:

(1+3+5+…+17)+11=92.

所求值为a92=3×92-1=275.

答案:275

14.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏,现有标号为1到12的卡片共12张,每人摸4张.

甲说:我摸到卡片的标号是10和12;

乙说:我摸到卡片的标号是6和11;

丙说:我们三人各自摸到卡片的标号之和相等.

据此可判断丙摸到的标号中必有的两个是________. 

【解析】由题得1到12的12个数字的和为(1+12)=78,每一个人的四个数字之和为=26,

设甲:10,12,a1,a2,乙:6,11,a3,a4,丙:a5,a6,a7,a8.

由题得a1+a2=4,a3+a4=9,

所以a1,a2只能取1,3,a3,a4只能为2,7或4,5,

所以剩下的四个数只能是4,5,8,9或2,7,8,9,

所以丙摸到的编号中必有的两个是8和9.

答案:8和9

15.已知直角坐标系中A(-2,0),B(2,0),动点P满足|PA|=|PB|,则点P的轨迹方程是____________. 

世纪金榜导学号

【解析】设点P(x,y),

由|PA|=|PB|得

=,

整理得到点P的轨迹方程为x2+y2-12x+4=0,

即(x-6)2+y2=32,其轨迹为圆.

答案:x2+y2-12x+4=0

16.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若S4-2S2=2,则S6-S4的最小值为________. 

世纪金榜导学号

【解析】在等比数列{an}中,根据等比数列的性质,

可得S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列,

所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4),

所以S6-S4=,

因为S4-2S2=2,

即S4-S2=S2+2,

所以S6-S4==

=S2++4≥2+4=8,

当且仅当S2=时,等号是成立的,

所以S6-S4的最小值为8.

答案:8

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