2019届二轮复习小题专练　函数与方程、函数的实际应用作业（全国通用）

小题专练·作业(十五)　函数与方程、函数的实际应用

1．已知函数f (x)＝则函数f (x)的零点为(　　)

A．，0   B．－2,0

C．   D．0

解析　当x≤1时，由f (x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f (x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，因为x>1，所以此时方程无解。综上函数f (x)的零点只有0。故选D。

答案　D

2．函数f (x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(　　)

A．(1,2)   B．(2,3)

C．(3,4)   D．(1,2)与(2,3)

解析　f (x)＝＋ln＝－ln(x－1)，当1<x<2时，ln(x－1)<0，>0，所以f (x)>0，故函数f (x)在(1,2)上没有零点。f (2)＝1－ln1＝1>0，f (3)＝－ln2＝＝。因为＝2≈2.828>e，所以8>e2，即ln8>2，所以f (3)<0。又f (4)＝－ln3<0，所以f (x)在(2,3)内存在一个零点。故选B。

答案　B

3．若函数f (x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]   B．[0，＋∞)

C．(－∞，0)   D．(0，＋∞)

解析　因为函数f (x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，所以m＋log2x＝0在x≥1时有解，所以m＝－log2x≤－log21＝0。故选A。

答案　A

4．函数f (x)＝的零点不可能在的区间为(　　)

A．(1,4)   B．(3,7)

C．(8,13)   D．(11,18)

解析　当0≤x≤10时，f (x)单调递增，又f (3)＝0，所以当0≤x≤10时，f (x)有唯一零点x＝3。故选B。

答案　B

5．(2018·武汉调研)已知函数f (x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(0,1]

C．(－∞，1)   D．(－∞，1]

解析　令m＝0，由f (x)＝0得x＝，满足题意，可排除A，B。令m＝1，由f (x)＝0得x＝1，满足题意，排除C。故选D。

答案　D

6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a。若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)   B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)   D．[1，＋∞)

解析　函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C。

答案　C

7．(2018·惠州调研)函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝则函数g(x)＝xf (x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为(　　)

A．8   B．32

C．   D．0

解析　令g(x)＝xf (x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y＝f (x)的图象和y＝的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y＝f (x)和y＝的大致图象，如图所示，由于y＝f (x)和y＝的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6,6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f (x)＝，即两函数的图象刚好有1个交点，且当x∈(8，＋∞)时，y＝的图象都在y＝f (x)的图象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8。故选A。

答案　A

8．某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动。规定各班每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选的候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)

A．y＝   B．y＝

C．y＝   D．y＝

解析　由题意，根据规定，每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，即余数分别为8,9时可以增选一名候选人，因此用取整函数可以表示为y＝。故选B。

答案　B

9．设函数f (x)＝则方程f (x)＝1的解集为________。

解析　由f (x)＝1，知当x≤0时，2x＝1，则x＝0；当x>0时，则|log2x|＝1，解得x＝或2，所以所求解集为。

答案　

10．已知函数f (x)＝－2x，则f ________f (1)(填“>”或“<”)；f (x)在上存在零点，则正整数n＝________。

解析　当x>0时，函数y＝与y＝－2x均为减函数，所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f >f (1)；因为f ＝2－>0，f ＝－2<0，所以函数f (x)的零点在上，所以正整数n＝2。

答案　>　2

11．(2018·广西玉林模拟)已知f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－ex的零点的个数为________。

解析　函数g(x)＝f (x)－ex的零点的个数可转化为函数y＝f (x)与y＝ex的图象的交点个数。在同一坐标系内作出函数y＝f (x)与y＝ex的图象如图所示，可知图象有2个交点，即函数g(x)＝f (x)－ex有2个零点。

答案　2

12．若函数y＝在区间(－2,2)上有两个零点，则实数a的取值范围为________。

解析　由题设可知函数y＝x2－a与函数y＝x－a＋lnx在给定的区间(－2,0]和区间(0,2)内分别有一个根，结合图象可得即所以0≤a<2＋ln2。

答案　[0,2＋ln2)

13．(2018·广西三市二联)已知f (x)＝＋x－，则y＝f (x)的零点个数是(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析　令＋x－＝0，化简得2|x|＝2－x2(x≠0)，画出y＝2|x|，y＝2－x2的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数f (x)有两个零点。故选C。

答案　C

14．(2018·安阳二模)设函数f (x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，若f (x)在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[0,1]  B．[－1,0]

C．[0,2]  D．[－1,1]

解析　因为f (1)＝ln2>0，当a＝－1时，f (2)＝ln3－2<0，所以f (x)在(1,2)上至少有一个零点，故排除B，D；当a＝2时，f ＝ln－<0，所以f (x)在上至少有一个零点，故排除C。故选A。

答案　A

15．若函数f (x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8＝0有唯一零点，则满足条件的实数m所组成的集合为________。

解析　因为f (－x)＝f (x)，所以f (x)是R上的偶函数，所以函数f (x)的唯一零点只能是0，即f (0)＝m2＋2m－8＝0，解得m＝2或m＝－4。当m＝2时，f (x)＝x2－2cosx＋2，易证f ′(x)＝2x＋2sinx>0，x∈(0，＋∞)，则f (x)在(0，＋∞)上单调递增，在

(－∞，0)上单调递减。此时f (x)有唯一零点；当m＝－4时，f (x)＝x2＋4cosx－4，f ＝2－2<0，f (π)＝π2－8>0，所以f (x)在上有零点不符合，舍去，故实数m的取值集合为{2}。

答案　{2}

16．(2018·郑州质量预测)已知M＝{α|f (α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f (x)与g(x)互为“n度零点函数”。若f (x)＝32－x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________。

解析　令f (x)＝0，即32－x－1＝0，解得x＝2，所以f (x)的零点为2。再令g(x)＝x2－aex的一个零点为β。由f (x)与g(x)互为“1度零点函数”，得|2－β|<1，所以1<β<3。由g(x)＝0，得a＝，所以a＝在(1,3)上有解。设h(x)＝，则h′(x)＝＝。当x∈(1,2)时，h′(x)>0，此时函数h(x)单调递增；当x∈(2,3)时，h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减。故h(x)max＝h(2)＝。又h(1)＝<h(3)＝，所以<a＝h(x)≤。

答案