2019届二轮复习 　函数与方程及函数的应用 学案（全国通用）

第14讲　函数与方程及函数的应用
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
命题规律
题型1：函数的零点
2018全国卷ⅠT9；2018全国卷ⅢT15；
2017全国卷ⅢT11；2014全国卷ⅠT11
分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：
1.求函数零点所在区间、零点个数及恒成立、能成立(存在性)问题是高考的命题热点，常与导数结合命题，难度较大.
2.函数的实际应用常与概率知识结合命题，考查学生的建模能力和数据处理能力.
题型2：恒成立、存在性问题
2015全国卷ⅠT12
题型3：函数的实际应用
2017全国卷ⅢT18；2016全国卷ⅠT19；
2015全国卷ⅠT19

题型1　函数的零点
(对应学生用书第68页)
■核心知识储备·
1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函数的零点与方程根的关系
函数f(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
■高考考法示例·
【例1】　(1)已知函数f(x)＝－x，那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是(　　 )
A．　　　　　 B．
C． D．
(2)(2018·安庆市二模)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝，且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2 x，则函数f(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数有(　　 )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
(3)(2018·西安市八校联考)已知函数f(x)＝ln x－ax2，若f(x)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为(　　 )
A． B．
C． D．
(1)B　(2)B　(3)C　[(1)f(0)＝1＞0，f＝－＞0，f＝－＜0 ，f·f＜0，所以函数f(x)在区间必有零点，选B.
(2)由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)周期为2，作函数y＝f(x)，y＝g(x)图象，由图可得有两个交点，所以选B.

(3)函数f(x)＝ln x－ax2恰有两个不同的零点即等价于函数f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，
∵f′(x)＝－2ax＝(x＞0)，当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)内恒成立，f(x)在(0，＋∞)内单调递增，其图象与x轴最多有一个交点，不合题意；当a＞0时，x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x→＋∞时，f(x)→－∞，当x→0时，f(x)→－∞，故要使f(x)恰有两个不同的零点，只需满足f(x)max＝f＝－ln 2a－a·＞0，解得0＜a＜，故a的取值范围为，故选C．]
【教师备选】
(1)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
(2)已知实数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为________．
(1)(3,5)　(2)(－∞，－2]　[(1)∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝，

且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，
∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，在区间[－1,3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．
当01且解得3 (2)法一：原问题等价于f2(x)＋f(x)＝－t有三个不同的实根，即y＝－t与y＝f2(x)＋f(x)的图象有三个不同的交点．当x≥0时，y＝f2(x)＋f(x)＝e2x＋ex为增函数，在x＝0处取得最小值2，与y＝－t只有一个交点．当x<0时，y＝f2(x)＋f(x)＝lg2(－x)＋lg(－x)，根据复合函数的单调性，其在(－∞，0)上先减后增．所以，要有三个不同交点，则需－t≥2，解得t≤－2.
法二：设m＝f(x)，作出函数f(x)的图象，如图所示，则当m≥1时，m＝f(x)有两个根，当m<1时，m＝f(x)有一个根，若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则等价为m2＋m＋t＝0有两个不同的实数根，且m≥1或m<1，当m＝1时，t＝－2，此时由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，满足f(x)＝1有两个根，f(x)＝－2有一个根，满足条件；当m≠1时，设h(m)＝m2＋m＋t，则h(1)<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<－2，综上，实数t的取值范围为t≤－2.]

[方法归纳]
已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决.
(3)数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
■对点即时训练·
1．(2018·保定市一模)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝ (－1＜x＜3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为(　　 )
A．2 B．4
C．6 D．8

B　[因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)周期为2，函数g(x)＝|x－1|关于x＝1对称，作图可得四个交点横坐标关于x＝1对称，其和为2×2＝4，选B.]
2．设[x]表示不小于实数x的最小整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f(x)＝[x]2－2[x]，若函数
f(x)＝f(x)－k(x－2)＋2在(－1,4]上有两个零点，则实数k的取值范围是(　　 )
A．∪[2,5) B．∪[5,10)
C．∪[5,10) D．∪[5,10)

B　[令f(x)＝0，得f(x)＝k(x－2)－2，作出函数y＝f(x)和y＝k(x－2)－2的图象如图所示．若函数f(x)＝f(x)－k(x－2)＋2在(－1,4]上有两个零点，则函数f(x)和g(x)＝k(x－2)－2的图象在(－1,4]上有两个交点．因为g(x)过定点P(2，－2)，经计算可得kPA＝5，kPB＝10，kPO＝－1，kPC＝－，所以k的取值范围是∪[5,10)．故选B.]
题型2　恒成立、存在性问题
(对应学生用书第69页)
■核心知识储备·
恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
f(x)＞a
■高考考法示例·
►角度一　恒成立问题
【例2－1】　(1)已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为(　　 )
A．[－，]　　　　　 B．[1，]
C．[2,3] D．[1,2]
(2)若不等式2xln x≥－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为________．
(1)B　(2)(－∞，4]　[(1)由题意f(x)在(－∞，1]上递减得t≥1，
由对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，
得f(x)max－f(x)min≤2，即f(0)－f(t)≤2，t2≤2，因此1≤t≤，选B.
(2)原不等式等价于a≤2ln x＋x＋恒成立，
设f(x)＝2ln x＋x＋，则f′(x)＝(x＞0)，
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝4，
∴a≤4.]
►角度二　存在性问题
【例2－2】　(1)(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2018·佛山模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x－(x＜0)与g(x)＝x2＋log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，－) B．(－∞，)
C．(－∞，2) D．
(1)D　(2)B　[(1)法一：设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方．因为g′(x)＝ex(2x＋1)，所以当x＜－时，g′(x)＜0，当x＞－时，g′(x)＞0，所以当x＝－时，[g(x)]min＝－2e，当x＝0时，g(0)＝－1，

g(1)＝e＞0，直线y＝ax－a恒过(1,0)，斜率为a，故－a＞g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得≤a＜1，故选D.
法二：该题也可先找到满足f(x0)＜0的整数x0，由x0的唯一性列不等式组求解．由f(0)＝－1＋a＜0得x0＝0.又x0是唯一使f(x)＜0的整数，所以，解得a≥，又a＜1，且a＝时符合题意．故选D.
(2)由f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝x2＋2－x－(x＞0)，
令h(x)＝g(x)，得2－x－＝log2(x＋a)(x＞0)，
则方程2－x－＝log2(x＋a)在(0，＋∞)上有解，
作出y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象，如图所示．

当a≤0时，函数y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，
若a＞0，若两函数在(0，＋∞)上必有交点，则log2 a＜，解得0＜a＜，
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，)，故选B.]
[方法归纳]　常见的恒成立、存在性问题的类型
1．恒成立问题
(1)∀x∈D，均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；
(2)∀x∈D，均有f(x)＜A恒成立，则 f(x)max (3)∀x∈D，均有f(x) >g(x)恒成立，则f(x)＝ f(x)－ g(x) >0，∴ f(x)min>0；
(4)∀x∈D，均有f(x)＜g(x)恒成立，则f(x)＝ f(x)－ g(x) <0，∴ f(x)max<0；
(5)∀x1∈D, ∀x2∈E，均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max；
(6)∀x1∈D, ∀x2∈E，均有f(x1) 2．存在性问题
(1)∃x0∈D，使得f(x0)>A成立，则f(x)max>A；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＜A成立，则 f(x)min (3)∃x0∈D，使得f(x0) >g(x0)成立，设f(x)＝ f(x)－ g(x)，∴f(x)max>0；
(4)∃x0∈D，使得f(x0) (5)∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min；
(6)∃x1∈D, ∃x2∈E，使得f(x1) 求解上述两类问题的具体方法为将已知恒成立或存在性的不等式或等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一元已知函数的最值问题处理．
【教师备选】
(1)(2018·贵州模拟)已知函数f(x)＝(e2x＋1＋1)(ax＋3a－1)，若存在x∈(0，＋∞)，使得不等式f(x)＜1成立，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
(2)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．
(1)C　(2)∪　[(1)因为存在x∈(0，＋∞)，使得不等式f(x)＜1成立，故a＜，显然当a≤0时满足题意，排除A、B选项；又当a>0时，由x∈(0，＋∞)，得＜＋1＝，且＜，故0＜a＜.
综上可知，实数a的取值范围为，故选C．
(2)根据题意有64sin2α－32cos 2α≤0，即sin2 α≤，又0≤α≤π，故α的取值范围是∪.]
■对点即时训练·
1．(2018·乌鲁木齐模拟)设函数f(x)＝ex(x3－3x＋3)－aex－x，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为(　　 )
A．－1 B．2－
C．1＋2e2 D．1－
D　[∵f(x)＝ex(x3－3x＋3)－aex－x≤0，
∴a≥x3－3x＋3－.令g(x)＝x3－3x＋3－，则g′(x)＝3x2－3＋＝(x－1)，
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，
故g(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故g(x)min＝g(1)＝1－3＋3－＝1－，故选D.]
2．(2018·高台模拟)已知函数f(x)＝x＋，若对任意x∈R，f(x)＞ax恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1－e) B．(1－e,1]
C．[1，e－1) D．(1－e，＋∞)
B　[函数f(x)＝x＋对任意x∈R，f(x)＞ax恒成立，∴x＋＞ax恒成立，
即＞(a－1)x恒成立．
设g(x)＝，h(x)＝(a－1)x，x∈R，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．
则满足不等式恒成立时，h(x)的图象在g(x)图象下方，

又g′(x)＝－e－x，故过原点(0,0)的函数g(x)的切线方程为y＝－.设切点(x0，y0)，则y0＝－e·x0，即e＝－e·x0，解得x0＝－1.
∴切线斜率为k＝－e＝－e，
∴应满足－e 即1－e ∴实数a的取值范围是(1－e,1]．故选B.]
3．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)＞g(x2)，则实数m的取值范围是________．
　[由题意只要f(x)在[－1,2]上的最小值大于g(x)在[0,2]上的最小值即可，显然当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为0，当x∈[0,2]时，g(x)的最小值为－m，所以0＞－m，
所以m＞.]
题型3　函数的实际应用
(对应学生用书第70页)
■核心知识储备·
函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序
(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．
(2)应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
(3)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
■高考考法示例·
【例3】　(1)(2018·宝鸡市高三质量检测三)“酒驾猛于虎”．所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量也会迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则他至少要经过(　　)小时候才可以驾驶机动车．
A．1　　 B．2　　　　
C．3　　 D．4
(2)某工艺品厂要设计一个如图2­6­2(1)所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2­6­2(2)所示，其周长为4 m．这种材料沿其对角线折叠后就出现图2­6­2(1)的情况．如图，ABCD(AB＞AD)为长方形材料，沿AC折叠后AB′交DC于点P.设△ADP的面积为S2，折叠后重合部分△ACP的面积为S1.
①设AB＝x m，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
②求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？
③求面积(S1＋2S2)最大时，应怎样设计材料的长和宽？

(1)　　　　　　　　　　　(2)
图2­6­2
(1)B　[设n个小时后才可以驾驶机动车，根据题意可得0.8×(1－50%)n＝0.2，即0.5n＝，解得n＝2.
即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车．故选B.]
(2)[解]　①由题意，AB＝x，BC＝2－x.
因为x＞2－x，所以1＜x＜2.
设DP＝y，则PC＝x－y.
因为△ADP≌△CB′P，
所以PA＝PC＝x－y.
由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2，
y＝2，1＜x＜2.
②记△ADP的面积为S2，则
S2＝(2－x)＝3－≤3－2.
当且仅当x＝∈(1,2)时，S2取最大值．
故当材料长为 m，
宽为(2－)m时，S2最大．
③S1＋2S2＝x(2－x)＋(2－x)
＝3－，1＜x＜2.
于是(S1＋2S2)′＝－＝＝0，
所以x＝.
关于x的函数(S1＋2S2)在(1，)上递增，在(，2)上递减．
所以当x＝时，S1＋2S2取得最大值．
故当材料长为 m，
宽为(2－)m时，S1＋2S2最大．
[方法归纳]
1．在建立函数模型时一定要根据实际情况，确定准函数的定义域．
2．对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．
■对点即时训练·
如图2­6­3，某小区有一边长为2的正方形地块OABC，其中阴影部分是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l(宽度不计)，切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若池边AE为函数y＝－x2＋2(0≤x≤)的图象，且点M到边OA的距离为t，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积的最大值为________．

图2­6­3
2　[M(t，－t2＋2)，过切点M的切线l：y－(－t2＋2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋2，令y＝2得x＝，故切线l与AB交于点；令y＝0，得x＝＋，故切线l与OC交于点，又x＝＋在上单调递减，所以x＝＋∈，所以地块OABC在切线l右上部分区域为直角梯形，面积S＝×2＝4－t－＝4－≤2，当且仅当t＝1时等号成立，故地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积的最大值为2.]

[高考真题]
1.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－　　　　　　 B．
C． D．1
C　[法一：(换元法)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
故选C．
法二：(等价转化法)f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a＞0，
则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
故选C．]
[最新模拟]
2．(2018·浦东新区一模)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k、b为常数)，若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)小时．
A．22　　　　　 B．23
C．24 D．33
C　[由题意可得，
解得，∴e33k＋b＝3×eb＝×192＝24，
∴该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时，故选C．]
3．(2018·雅安市三诊)已知函数f(x)＝xex－kx2－2ex＋2kx只有一个零点，则实数k的取值范围为(　　 )
A．(－∞，e] B．[0，e]
C．(－∞，e) D．[0，e)
D　[∵函数f(x)＝xex－kx2－2ex＋2kx，
∴f(x)＝(ex－kx)(x－2)，若函数f(x)只有一个零点，则x＝2是唯一的零点，故y＝ex－kx无零点，等价于y＝ex与y＝kx无交点．

画出函数的图象，如图所示：
由图象可得k≥0.
设y＝ex与y＝kx的切点坐标为A(x0，e)．
∴e＝，则x0＝1，即k＝e.
∴k∈[0，e)时，图象无交点，即函数f(x)只有一个零点．故选D.]
4．(2018·红桥区一模)已知函数f(x)＝，函数g(x)＝asin－2a＋2(a＞0)，若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是(　　 )
A． B．
C． D．
C　[当x∈[0,1]时，f(x)＝，值域是[0,1]，g(x)＝asin－2a＋2(a＞0)值域是，
∵存在x1，x2∈[0,1]使得f(x1)＝g(x2)成立，
∴[0,1]∩≠∅，
若[0,1]∩＝∅，则2－2a＞1或2－＜0，即a＜或a＞，
∴a的取值范围是 .故选C．]