2019届二轮复习小题专练　直线与圆作业（全国通用）

小题专练·作业(十二)　直线与圆

1．“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

解析　当a＝－1时，直线ax＋(2a－1)y＋1＝0的斜率是－，直线3x＋ay＋3＝0的斜率是3，－×3＝－1，所以两直线垂直。当a＝0时，直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直。所以“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的充分不必要条件。故选A。

答案　A

2．若直线l经过点A(1,2)，且在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A．－1<k<   B．k>1或k<

C．<k<1   D．k>或k<－1

解析　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x－1)，则直线l在x轴上的截距为1－，由题意可知－3<1－<3，解得k>或k<－1。故选D。

答案　D

3．(2018·贵阳监测考试)经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(　　)

A．2   B．2

C．3   D．4

解析　根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心为P(1，m)，则半径r＝|m－2|，所以(m－2)2＝22＋m2，解得m＝0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，当x＝0时，y＝±，所以|MN|＝2。故选A。

答案　A

4．(2018·佛山顺德调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　)

A．{1，－1,3，－3}   B．{5，－5,3，－3}

C．{1，－1}   D．{3，－3}

解析　圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1，3，－3。故选A。

答案　A

5．过点P(1,2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为(　　)

A．0   B．－

C．0或   D．

解析　圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，显然点P(1，2)在圆的外部。过点P能作2条圆的切线。当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，根据圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离等于半径1，可得＝1，解得k＝。故与切线垂直的直线ax＋y－1＝0的斜率为－，所以a＝。当k不存在时，可得a＝0，也满足题意。故选C。

答案　C

6．(2018·湖南十四校联考)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　)

A．或－   B．或－

C．   D．

解析　因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线距离公式可得＝1，所以a＝±。故选B。

答案　B

7．(2017·安徽太和模拟)已知点A(－2,0)，B(2,0)，若圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)上存在点P(不同于点A，B)使得PA⊥PB，则实数r的取值范围是(　　)

A．(1,5)   B．[1,5]

C．(1,3]   D．[3,5]

解析　根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)有交点，检验两圆相切时，点P与A或B重合，不满足条件，故两圆相交。而以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，圆心距为3，所以|r－2|<3<|r＋2|，解得1<r<5。故选A。

答案　A

8．已知点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l的倾斜角的取值范围是________。

解析　点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)>0，解得－<a<－1，即直线l的斜率的取值范围为(－，－1)，故其倾斜角的取值范围是。

答案　

9．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________。

解析　根据题意，圆的方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆的圆心为(0，－1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d＝＝，结合圆中的特殊三角形，可知|AB|＝2＝2。

答案　2

10．(2018·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y＝x2(x<0)上，且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为________。

解析　依题意设圆的方程为(x－a)2＋2＝r2(a<0)，又该圆与抛物线的准线及y轴均相切，所以＋a2＝r＝－a⇒故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋2＝1。

答案　(x＋1)2＋2＝1

11．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________。

解析　圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，作圆C关于直线x＋y＋2＝0对称的圆C′，如图所示，易得C′(－3，－4)，连接AC′，交直线于点P，交圆C′于点Q′，连接PC，交圆C于点Q，此时|PA|＋|PQ|取得最小值，根据对称性，最小值为|PA|＋|PQ′|＝|AC′|－|C′Q′|＝－＝2。

答案　2

12．(2018·合肥二模)为保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5 km，且与C村相距 km的地方。已知B村在A村的正东方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距3 km，则垃圾处理站M与B村相距________km。

解析　依题意易知△ABC是以角B为直角的直角三角形，不妨以点B为坐标原点，以AB，BC为x，y轴建立直角坐标系，则M点为以A点为圆心和以C点为圆心的两圆交点，方程分别为(x＋3)2＋y2＝25，x2＋(y－3)2＝31，联立方程组解得或则|MB|＝2或|MB|＝ ＝7，故垃圾处理站M与B村相距2或7 km。

答案　2或7

13．(2018·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)

A．3   B．4

C．2   D．8

解析　连接O1A、O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1O＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C。在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2×＝2，所以AB＝2AC＝4。故选B。

答案　B

14．已知圆O的半径为1，A，B，C，D为该圆上四个点，且＋＝，则△ABC的面积最大值为(　　)

A．2   B．1

C．   D．

解析　因为＋＝，所以四边形ABDC为平行四边形。又因为A，B，D，C四点都在圆上，所以AD，BC必为圆的直径，∠ACD＝∠BAC＝90°，即四边形ABDC为矩形，AD＝2，|AC|2＋|AB|2＝|AD|2＝4，S△ABC＝·|AB|·|AC|≤＝1，当且仅当|AC|＝|AB|时取等号，故选B。

答案　B

15．(2018·重庆模拟)当正实数m变化时，斜率不为0的定直线始终与圆(x－2m)2＋(y＋m)2＝m2相切，则直线的方程为________。

解析　设l：y＝kx＋b，则＝m，即(3k2＋4k)m2＋2b(2k＋1)m＋b2＝0，因为该等式对任意m>0成立，故3k2＋4k＝0,2b(2k＋1)＝0，b2＝0，即k＝－，b＝0，则直线的方程为y＝－x。

答案　y＝－x

16．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。若·＝0，则点A的横坐标为________。

解析　因为·＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°。设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tanθ＝2，k＝tan＝－3。又B(5,0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上的第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得所以点A的横坐标为3。

答案　3