2019届二轮复习小题专练 导数的简单应用作业（全国通用）
展开小题专练·作业(十六) 导数的简单应用
1．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析 y′＝cosx＋ex，故曲线在点(0,1)处的切线斜率k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0。故选C。
答案 C
2．已知函数f (x)＝＋1，g(x)＝alnx，若函数f (x)与g(x)的图象在x＝处的切线平行，则实数a的值为( )
A． B．
C．1 D．4
解析 由题意知，当x＝时两个函数的导数值相等。因为f ′(x)＝，g′(x)＝，所以1＝4a，即a＝。故选A。
答案 A
3．(2018·沈阳质量监测)设函数f (x)＝xex＋1，则( )
A．x＝1为f (x)的极大值点
B．x＝1为f (x)的极小值点
C．x＝－1为f (x)的极大值点
D．x＝－1为f (x)的极小值点
解析 由题意得，f ′(x)＝(x＋1)ex，令f ′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)>0，则f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1为f (x)的极小值点。故选D。
答案 D
4．若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为( )
A．3 B．2
C．2 D．3
解析 设底面正方形的边长为a，四棱锥的高为h，其外接球的半径为R，因为a2h＝9，所以a2＝，又因为R2＝2＋(h－R)2，所以R＝＋。令f (h)＝＋，h>0，所以f ′(h)＝－＋，可知f (h)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f (h)min＝f (3)，即当h＝3时，R最小，从而其外接球的体积最小。故选A。
答案 A
5．(2018·南昌调研)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，设函数f (x)的导函数为f ′(x)，若对任意x>0都有2f (x)＋xf ′(x)>0成立，则( )
A．4f (－2)<9f (3) B．4f (－2)>9f (3)
C．2f (3)>3f (－2) D．3f (－3)<2f (－2)
解析 根据题意，令g(x)＝x2f (x)，其导数g′(x)＝2xf (x)＋x2f ′(x)，又对任意x>0都有2f (x)＋xf ′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)＝x(2f (x)＋xf ′(x))>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x)是定义在R上的偶函数，则f (－x)＝f (x)，则有g(－x)＝(－x)2f (－x)＝x2f (x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(－2)<g(3)，即有4f (－2)<9f (3)。故选A。
答案 A
6．(2018·湖北部分重点中学一联)已知函数f (x)＝e2x＋(a－e)ex－aex＋b(a，b∈R)(其中e为自然对数底数)在x＝1处取得极大值，则a的取值范围是( )
A．a<0 B．a≥0
C．－e≤a<0 D．a<－e
解析 因为f (x)＝e2x＋(a－e)ex－aex＋b，所以可得f ′(x)＝e2x＋(a－e)ex－ae＝(ex＋a)(ex－e)。当a≥0时，由f ′(x)>0可得f (x)在(1，＋∞)上递增，f ′(x)<0得f (x)在(－∞，1)上递减，所以f (x)在x＝1取得极小值，无极大值，不符合题意；当a<0时，令f ′(x)＝0，得x＝1或ln(－a)，只有当ln(－a)>1，a<－e时，由f ′(x)>0可得f (x)在(－∞，1)，(ln(－a)，＋∞)上递增，f ′(x)<0，得f (x)在(1，ln(－a))上递减，f (x)在x＝1取得极大值，所以函数f (x)＝e2x＋(a－e)ex－aex＋b(a，b∈R)(其中e为自然对数底数)在x＝1取得极大值，则a的取值范围是a<－e。故选D。
答案 D
7．(2018·陕西质量检测)若直线2x－y＋c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，则c＝________。
解析 由x2＝4y，可得y′＝，由于直线2x－y＋c＝0的斜率k＝2，因此令＝2，得x＝4，代入x2＝4y得y＝4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得8－4＋c＝0，故c＝－4。
答案 －4
8．(2018·湖北重点高中协作体联考)x＝－1为函数f (x)＝x3－ax2的一个极值点，则函数f (x)的极小值为________。
解析 因为f (x)＝x3－ax2，所以f ′(x)＝2x2－2ax。因为x＝－1为函数f (x)＝x3－ax2的一个极值点，所以f ′(－1)＝2＋2a＝0，解得a＝－1。当a＝－1时，f ′(x)＝2x2＋2x＝2x(x＋1)。所以当x<－1或x>0时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，当－1<x<0时，f ′(x)<0，f (x)单调递减。所以当x＝0时，f (x)有极小值，且极小值为f (0)＝0。
答案 0
9．(2018·福建三校联考)已知函数f (x)＝ax2－xlnx在上单调递增，则实数a的取值范围是________。
解析 f ′(x)＝2ax－lnx－1≥0，解得2a≥在上恒成立，构造函数g(x)＝，g′(x)＝＝＝0，解得x＝1，所以g(x)在上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(x)的最大值为g(1)＝1，所以2a≥1，a≥，故实数a的取值范围是。
答案
10．(2018·山西二模)当x>1时，不等式(x－1)ex＋1>ax2恒成立，则实数a的取值范围是________。
解析 当x>1时，不等式(x－1)ex＋1>ax2恒成立，所以不等式a<在(1，＋∞)恒成立，设f (x)＝，f ′(x)＝，因为x2ex－2(x－1)ex－2＝ex(x2－2x＋2)－2＝ex[(x－1)2＋1]－2>0恒成立，所以f ′(x)>0在(1，＋∞)恒成立，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x)min>f (1)＝1，所以a≤1。
答案 (－∞，1]
11．(2018·西安八校联考)曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O为原点)是以∠A为顶角的等腰三角形，则切线l的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析 解法一：因为y＝x3，所以y′＝3x2。设点B(x0，x)(x0≠0)，则kl＝3x，所以切线l的方程为y－x＝3x(x－x0)。取y＝0，则x＝x0，所以点A。易知线段OB的垂直平分线方程为y－＝－，根据线段OB的垂直平分线过点A可得－＝－，解得x＝，所以kl＝3x＝，故切线l的倾斜角为60°。故选C。
解法二：因为y＝x3，所以y′＝3x2。设点B(x0，x)(x0≠0)，则kl＝3x，所以切线l的方程为y－x＝3x(x－x0)。取y＝0，则x＝x0，所以点A。由|OA|＝|AB|，得＝＋x，又x0≠0，所以x＝，所以kl＝3x＝，故切线l的倾斜角为60°。故选C。
答案 C
12．(2018·陕西质检)若函数f (x)＝ax－x2－lnx存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln2，则a的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)
解析 f ′(x)＝a－2x－＝－，因为f (x)存在极值，所以f ′(x)＝0在(0，＋∞)上有根，即2x2－ax＋1＝0在(0，＋∞)上有根。记方程2x2－ax＋1＝0的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1x2＝，x1＋x2＝，易知a>0，方程有两不等正根，由Δ>0，得a>2，所以f (x1)＋f (x2)＝(ax1－x－lnx1)＋(ax2－x－lnx2)＝a(x1＋x2)－(x＋x)－(lnx1＋lnx2)＝－＋ln2≥4＋ln2，所以a≥2。综上，a的取值范围为[2，＋∞)。故选C。
答案 C
13．(2018·四川德阳模拟)方程f (x)＝f ′(x)的实数根x0叫做函数f (x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝lnx的“新驻点”为a，那么a满足( )
A．a＝1 B．0<a<1
C．2<a<3 D．1<a<2
解析 因为g′(x)＝，所以lnx＝的根为a。设h(x)＝lnx－，则h(x)在(0，＋∞)上为增函数。又h(1)＝－1<0，h(2)＝ln 2－＝ln2－ln>0，所以h(x)在(1,2)上有唯一零点，所以1<a<2。
答案 D
14．(2018·成都七中一诊)设函数f (x)＝，g(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________。
解析 对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，等价于≤恒成立，f (x)＝＝x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，即f (x)的最小值是2，由g(x)＝，则g′(x)＝＝，由g′(x)>0得0<x<1，此时函数g(x)为增函数，由g′(x)<0得x>1，此时函数g(x)为减函数，即当x＝1时，g(x)取得极大值同时也是最大值g(1)＝，则的最大值为＝，则由≥，得2ek≥k＋1，即k(2e－1)≥1，则k≥。
答案
15．(2018·东北三校一模)已知函数f (x)＝xlnx＋x2，x0是函数f (x)的极值点，给出以下几个命题：
①0<x0<；②x0>；③f (x0)＋x0<0；④f (x0)＋x0>0。
其中正确的命题是________。(填出所有正确命题的序号)
解析 由已知得f ′(x)＝lnx＋x＋1(x>0)，不妨令g(x)＝lnx＋x＋1(x>0)，由g′(x)＝＋1，当x∈(0，＋∞)时，有g′(x)>0总成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g＝>0，而x0是函数f (x)的极值点，所以f ′(x0)＝g(x0)＝0，即g>g(x0)，所以0<x0<，即命题①成立，则命题②错；因为lnx0＋x0＋1＝0，所以f (x0)＋x0＝x0lnx0＋x＋x0＝x0(lnx0＋x0＋1)－x＝－x<0，故③正确，而④错。所以填①③。
答案 ①③
