2019届二轮复习小题模拟练3作业（全国通用）
展开小题模拟练(三)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的虚部为－3，则|z|＝( )
A. B．2 C. D．5
C [因为 z＝＝＝＝－i，所以－＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以|z|＝＝.]
2．设α为锐角，a＝(sin α，1)，b＝(1,2)，若a与b共线，则角α＝( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
B [由题意2sin α＝1，sin α＝，又α为锐角，∴α＝30°，故选B.]
3．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x B．y＝ex
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
D [y＝x和y＝ex非奇非偶函数，y＝cos x是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，故选D.]
4．执行如图47所示的算法框图，则输出的S值是( )
图47
A．－1 B. C. D．4
D [按照图示得到循环如下：S＝4，i＝1；S＝－1，i＝2，S＝，i＝3；S＝，i＝4；S＝4，i＝5；S＝－1，i＝6；S＝，i＝7；S＝，i＝8；S＝4，i＝9.不满足条件，输出结果为4.故答案为D.]
5．函数f(x)＝sin(πx＋θ)的部分图象如图48，且f(0)＝－，则图中m的值为( )
图48
A．1 B.
C．2 D.或2
B [由题意可得，f(0)＝sin θ＝－，又|θ|＜，∴θ＝－，
又f(m)＝sin＝－，
∴πm－＝2kπ－或πm－＝2kπ＋，k∈Z，
由周期T＝＝2，得0＜m＜2，∴m＝，故选B.]
6．李冶(1192－1279)，真实栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( )
A．10步，50步 B．20步，60步
C．30步，70步 D．40步，80步
B [设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B.]
7．如图49，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )
图49
A．4 B．8 C. D.
D [如图所示，在棱长为2的正方体中，题中三视图所对应的几何体为四棱锥PABCD，该几何体的体积为：V＝×(2×2)×2＝.本题选择D选项．]
8．若实数x，y满足约束条件则z＝2x－y的取值范围是( )
A．[－4,4] B．[－2,4]
C．[－4，＋∞) D．[－2，＋∞)
D [画出表示的可行域，如图所示的开放区域，
平移直线y＝2x－z，由图可知，当直线经过(0,2)时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时z＝2x－y有最小值－2，无最大值，
∴z＝2x－y的取值范围是[－2，＋∞)，故选D.]
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝sin 2B，且b＝2，c＝，则a等于( )
A. B. C．2 D．2
C [∵sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，且b＝2，c＝，
∴由正弦定理可得：＝，由于sin B≠0，可得：cos B＝，
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得：4＝a2＋3－2×a××，
可得：2a2－3a－2＝0，∴解得：a＝2，或a＝－(舍去)．故选C.]
10．若函数y＝f(x)图象上存在两个点A，B关于原点对称，则对称点(A，B)为函数y＝f(x)的“孪生点对”，且点对(A，B)与(B，A)可看作同一个“孪生点对”．若函数f(x)＝恰好有两个“孪生点对”，则实数a的值为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
A [当x≥0时，f′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x2－4x＋3)＝－3(x－1)(x－3)，故函数在区间[0,1)，(3，＋∞)上递减，在(1,3)上递增，故在x＝1处取得极小值．根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当x≥0时，函数图象与y＝－2的图象有两个交点，即f(1)＝－2－a＝－2，a＝0.]
11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M(3,2)，直线MF交抛物线于A，B两点，且M为AB的中点，则p的值为( )
A．3 B．2或4 C．4 D．2
B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，＝，
∵M为AB的中点，∴y1＋y2＝4，＝，代入＝，
解得p＝2或4，故选B.]
12．已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(3－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则实数b的取值范围是( )
A. B.
C. D．(－3,0)
B [由题可知f(x)＝故f(3－x)＝
∵函数y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(3－x)－b恰有4个零点，
∴方程f(x)＋f(3－x)－b＝0有4个不同的实数根，
即函数y＝b与函数y＝f(x)＋f(3－x)的图象恰有4个不同的交点．
又y＝f(x)＋f(3－x)＝
在坐标系内画出函数y＝f(x)＋f(3－x)的图象，其中点A，B的坐标分别为，.
由图象可得，当－3＜b＜－时，函数y＝b与函数y＝f(x)＋f(3－x)的图象恰有4个不同的交点，故实数b的取值范围是.选B.]
二、填空题
13．已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{－1,0}，则A∪B＝________.
{－1,0,1} [A＝{0,1}，所以A∪B＝{－1,0,1}．]
14．将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x)最小正周期为a，则g＝________.
[f(x)＝2sin，向右平移个单位后得到函数g(x)＝2sin 2x，函数的最小正周期是π，那么g＝2sin＝.]
15．过动点P作圆：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|＝|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是________．
[设P(x，y)，得x2＋y2＝(x－3)2＋(y－4)2＝1，即3x＋4y＝12，所以点P的运动轨迹是直线3x＋4y＝12，所以dmin＝，则|PQ|min＝|PO|min＝.]
(教师备选)
如图，在三棱锥ABCD中，E、F、G分别为AB、AC、CD中点，且AD＝BC＝2，EG＝，则异面直线AD与BC所成的角的大小为________．
60° [由三角形中位线的性质可知：EF∥BC，GF∥AD，则∠EFG或其补角即为所求，由几何关系有：EF＝BC＝1，GF＝AD＝1，由余弦定理可得：cos∠EFG＝＝－，则∠EFG＝120°，据此有：异面直线AD与BC所成的角的大小为180°－120°＝60°.]
