2019届二轮复习小题模拟练作业（全国通用）
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(建议用时：40分钟)
（教师备选）
一、选择题
1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|＜1}，B＝，则A∩(∁UB)＝( )
A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|1≤x＜4}
C [由题意得A＝{x||x－1|＜1}＝{x|－1＜x－1＜1}＝{x|0＜x＜2}，
B＝＝＝{x|x＜1或x≥4}，
∴∁UB＝{x|1≤x＜4}，∴A∩(∁UB)＝{x|1≤x＜2}．选C.]
2．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e4i表示的复数在复平面中位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由已知有e4i＝cos 4＋isin 4，因为π＜4＜，所以4在第三象限，所以cos 4＜0，sin 4＜0，故e4i表示的复数在复平面中位于第三象限，选C.]
3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
B [设小正方形的边长为1，直角三角形的直角边分别为x,1＋x，，由几何概型可得＝，解得x＝1，x＝－2(舍)，所以直角三角形边长分别为1,2，，直角三角形中较大锐角的正弦值为＝，选B.]
4．下列命题中：
①“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件；
②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b最小值为5；
③命题“∀x＞0，都有x＋≥2”的否定是“∃x0≤0，使得x0＋＜2”；
④已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为[0,1]．
正确命题的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [①x2＞1⇒x＞1或x＜－1，所以“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件；
②因为f(x)为偶函数，所以a＝－5，因为定义区间为[a，b]，所以b＝5，因此f(x)＝x2＋5，最小值为5；
③命题“∀x＞0，都有x＋≥2”的否定是“∃x0＞0，使得x0＋＜2”；
④由条件得∴∴x∈[0,1]；
因此正确命题的个数为①②④，选C.]
5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(即176两)，问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤(即176两)，问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为( )
A．90,86 B．94,82
C．98,78 D．102,74
C [执行程序：x＝86，y＝90，s≠27；x＝90，y＝86，s≠27；x＝94，y＝82，s≠27；x＝98，y＝78，s＝27，故输出的x，y分别为98,78.故选C.]
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A. B.
C. D.
D [由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分为侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，所以该几何体的体积是×2×4×2＋××π×23＝，故选D.]
7．(2018·湖南长沙一模)设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式(x＋2)2＋(y－2)2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为( )
A. B.
C. D．3
C [不等式组表示的平面区域Ω1和不等式(x＋2)2＋(y－2)2≤2表示的平面区域Ω2如图，
对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是点(0,0)与圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2的圆心(－2,2)连线的长度减去半径，即为－＝.故选C.]
8．设ω＞0，函数y＝2cos－1的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A. B. C. D.
A [将y＝2cos－1的图象向右平移个单位后对应的函数为
y＝2cos－1＝2cosωx＋－－1，
∵函数y＝2cos－1的图象向右平移个单位后与原图象重合，
∴＝2kπ(k∈Z)，即ω＝，又∵ω＞0，∴k≥1，故ω＝≥，故选A.]
9．已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图，则满足f′(x)＜f(x)的x的取值范围为( )
A．(0,4) B．(－∞，0)∪(1,4)
C. D．(0,1)∪(4，＋∞)
D [根据导函数与原函数的关系可知，当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，
当f′(x)＜0时，函数f(x)单调递减，由题图可知：
当0＜x＜1时，函数y＝f′(x)的图象在y＝f(x)图象的下方，满足f′(x)＜f(x)；
当x＞4时，函数y＝f′(x)的图象在y＝f(x)图象的下方，满足f′(x)＜f(x)；
所以满足f′(x)＜f(x)的解集为{x|0＜x＜1或x＞4}，故选D.]
10．若正项递增等比数列{an}满足1＋(a2－a4)＋λ(a3－a5)＝0(λ∈R)，则a6＋λa7的最小值为( )
A．－2 B．－4 C．2 D．4
D [∵1＋(a2－a4)＋λ(a3－a5)＝0，∴1＋λq＝(q＞1)，
∴a6＋λa7＝a6(1＋λq)＝＝＝＝(q2－1)＋2＋≥2＋2＝4，
当且仅当q＝时取等号，即a6＋λa7的最小值为4，选D.]
11．设正三棱锥PABC的高为h，且此棱锥的内切球的半径R＝h，则＝( )
A. B. C. D.
D [取线段AB中点D，设P在底面ABC的射影为O，连接CD，PD，设AB＝a，则OD＝a×＝a，设PD＝ma，则正三棱锥PABC的表面积3×a×ma＋a2，由体积得，V＝×a2h，∴R＝＝h，∴m＝，h＝＝，∵PA＝a，∴＝，选D.]
12．已知f(x)＝x2·ex，若函数g(x)＝f2(x)－kf(x)＋1恰有三个零点，则下列结论正确的是( )
A．k＝±2 B．k＝
C．k＝2 D．k＝＋
D [f′(x)＝ex(x2＋2x)，可知函数f(x)在区间(－∞，－2)单调递增，在(－2,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，如图，f(－2)＝，f(0)＝0，f(x)≥0，令t＝f(x)，则t2－kt＋1＝0，因为g(x)要有三个零点，∴t2－kt＋1＝0有解，设为t1，t2，由t1t2＝1＞0，根据图象可得：当t1≠t2时，t1＝，t2＝＞，符合题意，此时k＝t1＋t2＝＋，当t1＝t2∈时，可求得t1＝t2＝1＞，不符合题意．综上所述，k＝＋，故选D.]
二、填空题
13．向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝________.
[由|a－b|＝可得(a－b)2＝，即a2－2a·b＋b2＝，代入|a|＝1可得1－2×1×|b|×＋|b|2＝，整理可得(2|b|－1)2＝0，解得|b|＝.]
14．抛物线y2＝8x的焦点为F，点A(6,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为________．
13 [由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d，即FP＝d.所以周长l＝PA＋PF＋AF＝PA＋d＋AF＝PA＋d＋5≥13.]
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为________．
4 [由已知有a2＋b2－c2＝ab，cos C＝＝＝，
由于C∈(0，π)，sin C＝，又16＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，S△ABC＝absin C≤×16×＝4，当且仅当a＝b＝4时等号成立．
故△ABC面积的最大值为4.]
16．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(a、b分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长)．已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若点M是双曲线C上位于第四象限的任意一点，直线l是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ⊥l于点Q，且|MQ|＋|MF1|的最小值为3，则双曲线C的通径为________．
2 [如图所示：连接MF2，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，
∴|MQ|＋|MF1|＝|MF2|＋|MQ|＋2a≥|F2Q|＋2a，当且仅当Q，M，F2三点共线时取得最小值3，此时，由F2(c,0)到直线l：y＝－x＝－x的距离|F2Q|＝，∴＋2a＝3⇒＋2a＝3⇒a＝1，由定义知通径等于＝2.]
