高二数学期中模拟卷01（考试版A3）【测试范围：选修2，3】（人教A版2019版）含参考答案

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．3 13． 14．③④
四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）
15.【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）因为，
由二项式展开式的通项公式为，
所以展开式的第3项的二项式系数为.
（2）由，
令，可得；
令，可得，
所以
（3）由，
令，可得，
令，可得，
两式相减可得，所以.
16.【答案】（1）分布列见解析，；（2）.
【解析】
【详解】解：运动时间在的人数为人.
运动时间在的人数为人.
按照分层抽样共抽取人，则在上抽取的人数为人，
在上抽取的人数为人.
随机变量的所有可能取值为，，，.
所以随机变量的分布列为
，
（或）
17.【答案】（1）答案见解析
（2），证明见解析
【解析】
【小问1详解】
因为，定义域为，
所以，
当时，，所以的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，令，得；令，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
，证明如下：
当时，，又，
令，
则，
令，则，又，
所以函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得，
且时，；时，，
即时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，而，即，
两边取对数得，
所以，故在上恒成立.
18.【答案】(1) (2)，理由见解析
【详解】（1）
由条件可知，，解得：，，，
所以椭圆的方程为；
（2）
设直线，联立
，得，（*）
，
整理为，解得：或，
由题意结合图形可知，，所以，
当时，代回（*）得，即，，
所以点的坐标为，，所以
设直线，联立，，，
，得，（*）
，
整理为，解得：，
，，
，，
，
，
即，解得：（舍去），
即，则直线的斜率为，
而，所以.
19.【答案】(1)填表见解析；
(2)
(3)第7个
【详解】（1）图形、、…、、…的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形的边数为；
从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列，则比前一个图形多出的三角形的个数为；
从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，为公比的等比数列，则比前一个图形多出的每一个三角形的面积是．
所以，即．
（2）当时，
，
又因为，符合上式，
所以．
（3）由，得，则，
所以，故，
由，，故，又因为，所以，
所以从第7个图形开始雪花曲线所围成的面积大于．
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
D
D
B
C
B
9
10
11
BD
ABD
BD
P1
P2
P3
P4
…
Pn
边数
3
12
48
192
…
从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数
3
12
48
…
从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积
…