2019届二轮复习小题模拟练1作业（全国通用）

小题模拟练(一)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知复数z满足(1－i)z＝2＋i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限　　　　　 B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

D　[∵(1－i)z＝2＋i，∴(1－i)(1＋i)z＝(2＋i)(1＋i)，2z＝1＋3i，z＝＋i，＝－i，z的共轭复数在复平面内对应点坐标为，z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.]

2．设集合M＝{x|x2＜36}，N＝{2,4,6,8}，则M∩N＝(　　)

A．{2,4}    B．{4,6}

C．{2,6}    D．{2,4,6}

A　[M＝(－6,6)，故M∩N＝{2,4}．]

3．如图44中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是(　　)

图44

A.

B.

C.－1

D．2－

C　[令圆的半径为1，则P＝＝＝－1，故选C.]

4．函数f(x)＝，x∈∪的图象大致是(　　)

　　　A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D

C　[由f(－x)＝－f(x)可得函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，可排除A，B，∵x∈时，f(x)＞0，故选C.]

(教师备选)

如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为(　　)

A.π　　　 B.π

C．32π　　　 D.π

D　[由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，

故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同．

由底面边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，

可得底面三角形外接圆的半径为r＝2，

由棱柱高为4，可得OO2＝2，

故外接球半径为R＝＝2，

故外接球的体积为V＝π×(2)3＝π.选D.]

5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为(　　)

A．2x＋y－3＝0    B．2x－y＋3＝0

C．x－2y－3＝0    D．x－2y＋3＝0

D　[线段AB的中点为M(1,2)，kAB＝－2，

∴线段AB的垂直平分线为：y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.

∵AC＝BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，

因此△ABC的欧拉线方程为：x－2y＋3＝0.故选D.]

(教师备选)

执行如图所示的程序框图，则输出S的值为(　　)

A．4 097    B．9 217

C．9 729    D．2 0481

B　[阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：

S＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋10×29，

则2S＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋10×210，

以上两式作差可得：－S＝20＋21＋22＋…＋29－10×210＝－10×210，

则S＝9×210＋1＝9 217.]

6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为6π，且其图象向右平移个单位后得到函数g(x)＝sin ωx的图象，则φ等于(　　)

A.    B.

C.    D.

B　[由最小正周期公式可得：＝6π，∴ω＝，函数的解析式为：f(x)＝sin，将函数图象向右平移个单位后得到的函数图象为：

g(x)＝sin＝sin＝sinx，据此可得：φ－＝2kπ，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，

令k＝0可得φ＝.]

7．已知实数a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c    B．c＜a＜b

C．c＜b＜a    D．b＜a＜c

B　[法一：∵b－a＝－＝＝＞0，∴b＞a；

又a－c＝－＝＝＞0，

∴a＞c，

∴b＞a＞c，即c＜a＜b.选B.

法二：设f(x)＝，

∴f′(x)＝，

∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．

又∵a＝＝，

∴＜＜.

即c＜a＜b，故选B.]

8．如图45所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是(　　)

图45

A.    B．1

C.    D．2

D　[由题意可得，点P位于过点A且与平面EFDB平行的平面上，

如图所示，取A1D1，A1B1的中点G，H，连接GH，AH，AG，GE，

由正方形的性质可知：EF∥GH，由ABEG为平行四边形可知AG∥BE，

由面面平行的判定定理可得：平面AGH∥平面BEFD，

据此可得，点P位于直线GH上，

如图所示，由AA1⊥平面A1B1C1D1可得AA1⊥A1P，

则tan∠APA1＝，当tan∠APA1有最大值时，A1P取得最小值，

即点P是GH的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时tan∠APA1的值是2. ]

9．经过双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点作倾斜角为60°的直线l，若l交双曲线M的左支于A，B，则双曲线M离心率的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞)    B．(1,2)

C．(1，)    D．(，＋∞)

B　[由题意，＜，得b2＝c2－a2＜3a2，所以＜2，即离心率的范围是(1,2)，故选B.]

10．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，e为自然对数的底数．若f′(x)ln x＞，则(　　)

A．f(2)＜f(e)ln 2,2f(e)＞f(e2)

B．f(2)＜f(e)ln 2,2f(e)＜f(e2)

C．f(2)＞f(e)ln 2,2f(e)＜f(e2)

D．f(2)＞f(e)ln 2,2f(e)＞f(e2)

B　[设F(x)＝，则f′(x)＝，则由条件知f′(x)＞0，所以F(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以F(2)＜F(e)＜F(e2)，即＜＜，即f(2)＜f(e)ln 2,2f(e)＜f(e2)，故选B.]

二、填空题

11．已知向量a＝(12，k)，b＝(1－k,14)，若a⊥b，则实数k＝________.

－6　[由题意，12(1－k)＋14k＝0，则k＝－6.]

12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(acos C－ccos A)＝b，B＝60°，则A的大小为________．

75°　[由(acos C－ccos A)＝b，根据正弦定理得(sin Acos C－sin Ccos A)＝sin B，即sin(A－C)＝，sin(A－C)＝，A－C＝30°，又∵A＋C＝180°－B＝120°，∴2A＝150°，A＝75°.]

13．已知直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A(5，5)，若可行域的外接圆直径为20，则n＝________.

10　[由题意知可行域为图中△OAB及其内部，解得B(n,0)，|AB|＝，又tan∠AOB＝，则∠AOB＝30°，由正弦定理得|AB|＝2Rsin∠AOB＝20×sin 30°＝10，解得n＝10.]

14．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是

________.

　[由f(x)＝x3－2x＋ex－，

得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，

所以f(x)是R上的奇函数．

又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，

所以f(x)在其定义域内单调递增．

因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，

所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，

所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤，

故实数a的取值范围是.]