人教版八年级上册第十三章 轴对称综合与测试单元测试一课一练

这是一份人教版八年级上册第十三章 轴对称综合与测试单元测试一课一练，共16页。

（满分120分）


班级：_________姓名：_________学号：_________成绩：_________


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）


A． B． C． D．


2．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）


A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点


C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点


3．在直角坐标平面内，已知点B和点A（3，4）关于x轴对称，那么点B的坐标（ ）


A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，4）


4．一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（ ）


A．65°B．70°C．75°D．100°


5．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（ ）





A．21：05B．21：15C．20：15D．20：12


6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的高，若AD＝3cm，则斜边AB的长为（ ）





A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm


7．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（ ）


A．7cmB．9cmC．7cm或12cmD．12cm


8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠A＝25°，则∠CDB＝（ ）





A．25°B．50°C．60°D．90°


9．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）





A．2个B．3个C．4个D．无数个


10．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（ ）





A．B．


C．D．


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．点（2﹣a，3）关于y轴对称的点的坐标是（4，2﹣b），则ab＝


12．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，连接AE，则△ABE的周长为 ．





13．如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BC＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积的值是 ．





14．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12，CF＝3，则AC＝ ．





15．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入 号球袋．





16．如图，△ABC和△BEF都是正三角形，AF与BC交于点M，BF与EC交于点N，则下面三个结论中，正确的结论有 个．


（1）AF＝CE；（2）MN∥AE；（3）AC⊥CE的充分必要条件是AF⊥EF．





三．解答题（共8小题，满分66分）


17．（6分）如图，△ABC中，CA＝CB，D是AB的中点，∠B＝50°，求∠ACD的度数．








18．（6分）如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．





19．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．





20．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上．请按要求完成下列各题：


（1）在网格中画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A1B1C1D1；


（2）求四边形ABCD的面积．





21．（8分）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．


（1）若BC＝5，求△ADE的周长．


（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．








22．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．


（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；


（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？








23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．


（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 ；


（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；


（3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．


①求BC的长；


②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．








24．（12分）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．


（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？


（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？


（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．



























































参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：A、不是轴对称图形；


B、不是轴对称图形；


C、不是轴对称图形；


D、是轴对称图形．


故选：D．


2．解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．


故选：D．


3．解：∵点B和点A（3，4）关于x轴对称，


∴点B的坐标为（3，﹣4），


故选：C．


4．解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，


∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°．


故选：A．


5．解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．


故选：A．


6．解：∵CD是斜边AB上的高，


∴∠ADC＝90°，


∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，


∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝30°，


∵AD＝3cm，


∴AC＝2AD＝6cm，


∴AB＝2AC＝12cm，


故选：D．


7．解：若腰长7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，


解得x＝17，


此时三边长7cm、7cm、17cm，


∵7+7＜17


∴此三角形不成立；


若底边长xcm，则腰长2xcm，由题意得


7+x+x＝31，


解得x＝12，


此时三边长7cm、12cm、12cm．


答：该等腰三角形的腰长为12cm．


故选：D．


8．解：由作图的步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，


∴DA＝DB，


∴∠DBA＝∠A＝25°，


∴∠CDB＝∠DBA+∠A＝50°，


故选：B．


9．解：如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．





∵OP平分∠AOB，


∴∠EOP＝∠POF＝60°，


∵OP＝OE＝OF，


∴△OPE，△OPF是等边三角形，


∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，


∴∠EPM＝∠OPN，


在△PEM和△PON中，


，


∴△PEM≌△PON（ASA）．


∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，


∴△PNM是等边三角形，


∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，


故这样的三角形有无数个．


故选：D．


10．解：要找一条最短路线，以河流为轴，取A点的对称点A'，连接A'N与河流相交于M点，再连接AM，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下：





故选：D．


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．解：∵点（2﹣a，3）关于y轴对称的点的坐标是（4，2﹣b），


∴2﹣a＝﹣4，2﹣b＝3，


解得a＝6，b＝﹣1，


所以，ab＝6﹣1＝．


故答案为：．


12．解：


∵DE垂直平分AC，


∴AE＝CE，


∴BE+AE＝BE+EC＝BC，


∴AB+BE+AE＝AB+BC＝3+4＝7，


即△ABE的周长为7，


故答案为：7．


13．解：∵△ABC关于直线AD对称，


∴B、C关于直线AD对称，


∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，


∴S△BEF＝S△CEF，


∵△ABC的面积是：×BC×AD＝×3×4＝6，


∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝3．


故答案为：3．


14．解：∵EF是AB的垂直平分线，


∴FA＝BF＝12，


∴AC＝AF+FC＝15．


故答案为：15．


15．解：


如图，该球最后将落入1号球袋．





16．解：①∵△ABC和△BFE均是等边三角形，


∴AB＝BC，EB＝BF，∠ABC＝∠FBE＝60°，


∴∠CBE＝∠ABF，


∴△ABF≌△CBE，


∴AF＝CE，故①正确；


②∵△ABF≌△CBE，


∴∠BCN＝∠BAM，


又∵∠ABC＝∠CBN＝60°，CB＝AC，


∴△ABM≌△CBN，


∴BM＝NB，又∠CBF＝60°，


∴△BNM为等边三角形，


∴∠BMN＝60°＝∠ABC，


∴NM∥AE，故②正确；


③∵△ABC和△BFE均是等边三角形，


∴∠ACB＝∠BFE＝60°，


∵AF⊥EF，


∴∠AFE＝90°，


∴∠AFB＝30°，


∵△ABF≌△CBE，


∴∠AFB＝∠CEB＝30°，


∵∠CBE＝∠CBF+∠FBE＝120°，


∴∠BCE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，


∴∠ACB＝60°+30°＝90°，


即：AC⊥CE，


故③正确．


故答案为：3．





三．解答题（共8小题，满分66分）


17．解：∵CA＝CB，


∴△ABC是等腰三角形，


∵∠B＝50°，


∴∠A＝∠B＝50°，


∴∠ACB＝80°，


又∵D是AB的中点，即CD是底边AB上的中线，


∴CD平分∠ACB，


∴∠ACD＝∠ACB＝40°．


18．解：作出点A关于l1的对称点E，点B关于l2的对称点F，连接EF，交于l1，l2于点C，点B，





则AC，CD，BD是他走的最短路线．


19．解：∵BO平分∠ABC，


∴∠ABO＝∠OBC，


CD平分∠ACB，


∴∠ACO＝∠BCO，又EF∥BC，


∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠ACB，


∴∠ABO＝∠EOB，∠FOC＝∠ACO，


∴OE＝BE＝3，OF＝FC，


∵EF＝5，


∴OF＝2，


∴FC＝2．


20．解：（1）如图，四边形A1B1C1D1为所作；





（2）四边形ABCD的面积＝×5×2+×5×1＝．


21．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，


∴DA＝DB，EA＝EC，


∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；


（2）∵∠BAC＝120°，


∴∠B+∠C＝60°，


∵DA＝DB，EA＝EC，


∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，


∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝60°．


22．解：（1）∵△OCD是等边三角形，


∴OC＝CD，


而△ABC是等边三角形，


∴BC＝AC，


∵∠ACB＝∠OCD＝60°，


∴∠BCO＝∠ACD，


在△BOC与△ADC中，


∵，


∴△BOC≌△ADC，


∴∠BOC＝∠ADC，


而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，


∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，


∴△ADO是直角三角形；


（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，


则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，


∴b﹣d＝10°，


∴（60°﹣a）﹣d＝10°，


∴a+d＝50°，


即∠DAO＝50°，


①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，


∴190°﹣α＝α﹣60°，


∴α＝125°；


②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，


∴α﹣60°＝50°，


∴α＝110°；


③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，


∴190°﹣α＝50°，


∴α＝140°．


所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．


23．解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，


故答案为：50°；


（2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°．


理由：∵AB＝AC，


∴∠B＝∠C，


∴∠A＝180°﹣2∠B，


又∵MN垂直平分AB，


∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°．


（3）如图：





①∵MN垂直平分AB．


∴MB＝MA，


又∵△MBC的周长是14cm，


∴AC+BC＝14cm，


∴BC＝6cm．


②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．


24．解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，


x×1+12＝2x，


解得：x＝12；


（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，


AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，


∵三角形△AMN是等边三角形，


∴t＝12﹣2t，


解得t＝4，


∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．


（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，


由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，


如图②，假设△AMN是等腰三角形，


∴AN＝AM，


∴∠AMN＝∠ANM，


∴∠AMC＝∠ANB，


∵AB＝BC＝AC，


∴△ACB是等边三角形，


∴∠C＝∠B，


在△ACM和△ABN中，


∵，


∴△ACM≌△ABN，


∴CM＝BN，


设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，


∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，


y﹣12＝36﹣2y，


解得：y＝16．故假设成立．


∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．