【数学】浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高二下学期期中考试试题

参考答案

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）

1. C      2. C    3. A     4. A     5. C     6. B   7.B      8. D      9. D    10. A

二、填空题 (本大题共7小题，多空题 每小题6分，单空题 每小题4分，共36分)

11.  1 ,         12.  3        13.   ；        14.     

15.  ;            16.             17. 

三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18. （本小题满分14分）

解析：(I) ，  ，故，   ………4分

，，                 ………6分

（II）与的夹角为，，……8分

，， ，，………13分

即. 故的值为.    ……14分

19.  (本小题满分15分)

解析：(I)，                          ………2分

，由函数是偶函数得，…4分

   故  ，的值为和.    …7分

（II）, ，

   为的内角，.     ………9分

由余弦定理 ，得。由，

知。…13分

. 于是的面积的最大值为.…15分

20. (本小题满分15分)

解析：(I) ， ，在原点处的切线方程为…3分

（II）由已知，，    ……5分，  可猜想    ………9分

下面用数学归纳法证明．

①当时，，结论成立．

②假设当时结论成立，

即，

则当时，

即结论成立．

由①②可知，结论对恒成立．   ………15分

21. (本小题满分15分)

解析：(I) 由题意得a＝1时，令 ,当时， ，

解得；

当时， ，解得. 故函数的零点为和1…4分

(II)   其中,  由于

于是最大值在中取．       ………6分      

当，即时，在上单调递减，

故；

当，即时，在上单调递增，上单调递减，故；

当，即时，在上单调递减，上单调递增，

故；因为，故。

综上，     ………11分

(III)时 ，，故问题转化为在给定区间内恒成立．

因，分两种情况讨论：

当时，是方程的较小根，

即时，；

当时，是方程的较大根，

即时，；

综上                      ………15分

22. (本小题满分15分)

解析(I)由题意知，的定义域为，

②                                                                                                                               当时，恒成立，在上单调递增。     

②当 时，令 ，则 ，在上单调递增，在上单调递减。………4分

 (II) 由（I）知当时显然不符合题意。

当，即时，在上单调递减，又，所以在上恒成立，无零点，不符合题意．

当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，又,令，

设 ，则， （）在上递减

故在上递减，因此，

即 故在上无零点，在上有唯一零点．

综上，满足条件的实数的取值范围是……10分

(III)证明：由(II)得，且，由

要证，即证，即证

令，则，

在上递增，，

 故，由此……15分