湖北省武汉市钢城第四中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

钢城四中2020—2021（下）期中考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数，那么在复平面内复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（    ）

A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡

3. 已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为(     )

A.－20            B.20                C. －15             D. 15

4. 下表是某两个相关变量x，y的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为（    ）

A．3 B．3.15 C．3.5 D．4

5. 为了了解现在互联网行业的就业情况，某高校教授组织学生对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图(如图1)和后从事互联网行业者岗位分布图(如图2)，则下列结论中不一定正确的是（     ）

A．互联网行业从业人员中后的人数不超过一半

B．互联网行业中从事职能岗位的人数后比后多

C．互联网行业中后从事市场岗位的人数少于所有年龄从业者总人数的

D．互联网行业中后从事技术岗位的人数超过所有年龄从业者总人数的

6. 某学习小组有3名男生、3名女生共计6名同学，选出4人进行学业水平测试，这4人中所含女生人数记为，则的数学期望为（     ）

A． B． C． D．

7. 将标号为、、、、、的个小球随机地放入标号为、、、、、的个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有（     ）   

A．种              B．种           C．种 D．种

8． 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（     ）

A．种              B．种 C．种 D．种

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的的3分.

9． 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（     ）

A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为  D．2个球不都是红球的概率为

10．已知的展开式中，的系数为56，则实数的取值可能为（     ）

A．-1 B．4 C．5 D．6

11．若，则（     ）

A． B．

C． D．

12．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（    ）

A．所有可能的方法有种

B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种

C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有12种

D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13． 设复数 满足 （为虚数单位），则的虚部为         .

14． 假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为___________.

15.  甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜），则甲获胜的概率为______.

16． 某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.

已知（），若的展开式中，______.

（1）求的值及展开式中所有项的系数和；     （2）求展开式中含x3的项.

18．计算求值：（1）；    （2）；

（3）.

19.用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？

（1）偶数不相邻；

（2）偶数一定在奇数位上；

（3）1和2之间恰有一个奇数，没有偶数；

（4）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.

20. 寒假期间，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查光明社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”.

                     幸福度

7      3  0

8      4  4  6  6  7  7  8  8  9  9

9              7  6  5  5

（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；

（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ε表示抽到“幸福”的人数，求ε的分布列及数学期望.

21．根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下:

(1) 写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程)；

(2) 求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由；

(3) 将频率视为概率，监测去年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ).

22．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（ 也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划上要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.

（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的范围.

高二下数学期中答案

一：选择题

1-8.CADB BCCB

9.ABC     10.AD     11.ACD     12.BD

二：填空题

13.                        14.

15.                      16.

三：解答题：

17.（1）选①，则=5,n=10   ；选②，则，n=10  ； 选③，则

令x=1,系数和为1

（2） =

令r=3,计算含的项为-960

18.(1)原式==;                    (2)原式==330；

（3）化简得n2-11n-60=0       ∴n=-4(舍)或n=15    ∴n=15

19.(1)=1440         (2)=576        (3)3=720

(4)(一)   =840              (二)  =840

（三）=840

20.（1）(一)由图知：调查的16人中12人“幸福”，4人未达到幸福指数

记16人中选3人，至少2人“幸福”为事件A

则P(A)=+=

（二）P(A)=1--=

(2)由题意知ε=0，1，2，3        ε～B(3,)

P(ε=0)=((=             P(ε=1)=((=

P(ε=2)=((=             P(ε=3)=((=

∴ε的分布列为

数学期望为E（ε）=3×=

21. (1)由表可知众数在第二组，为微克/立方米，

前两组的频率和为，前三组的频率和为，故中位数在第三组，设为x，

则，解得微克/立方米，

(2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米).

∵40.5>35，

∴去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.

(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)=.

随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3  且ξ～B(3,)

∴P(ξ=k)= ((1- (k=0，1，2,3)，即

E(ξ)=np=2.7

D(ξ)=np(1-p)=0.27

22. （1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，则，

该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则；

（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，根据题意可知，，则，

报将乙大学通过的科目数为，则

，

，

，

，

随机变量的分布列：

，

因为该考生更希望通过乙大学的笔试，，则，

所以的范围为：.