【数学】浙江省宁波市咸祥中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题
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高二下学期期中考试试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
选择题部分（共72分）
一、选择题：本大题共18小题，每小题4分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
2.直线经过点和点，则它的斜率为（ ）
3.一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是（ ）
4.若等比数列中，，则等于（ ）
5.与的大小关系是（ ）
不能比较大小
6.函数（且）的图象必经过点（ ）
7.已知中，，，，则此三角形的解有（ ）
一解 两解 一解或两解 无解
8.下列命题中成立的是（ ）
直线平行于平面内的无数条直线，则∥；
若直线在平面外，则∥；
若直线∥，直线，则∥；
若直线∥，直线，那么直线就平行于平面内的无数条直线.
9.两个圆与圆的公切线有且仅有（ ）
条 条 条 条
10.的值是（ ）
11.平面向量与的夹角为，，，则（ ）
12.古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：
他们研究过图中的，，，，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图中的，，，，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
13.已知椭圆的一个焦点为，离心率，则椭圆的标准方程为（ ）
14. 设，那么“”是“”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分又不必要条件
15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
16. 已知双曲线（，），，是双曲线的两个顶点，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是，若直线，的斜率分别是，，且，则双曲线的离心率是（ ）
17.已知函数函数，其中.若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ）
- 在三棱锥中，，， 在平面的射影为的中
点，是上的动点，，是的两个三等分点，（），记二面角，的平面角分别为，.若，则的最大值为（ ）
非选择题部分（共78分）
二、填空题：本大题共4小题，每空5分，共25分。
19.在等比数列中，若，，则公比 ；
．
20.设，向量，，若，则 ．
21.已知椭圆，，分别为左、右焦点，为椭圆上一动点，以为直径
作圆，圆与圆的位置关系为 ．
22.已知函数，若对任意，不等式
恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共3小题，共53分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（本题满分18分）已知函数.求
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）函数的最小正周期；
（Ⅲ）在上的取值范围.
24.（本题满分17分）已知抛物线的焦点是，直线的方程为，点.
（Ⅰ）写出点的坐标和准线的方程；
（Ⅱ）已知，若过的直线交抛物线于不同两点，，（均与不重合），直线，分别交直线于点，.设,的斜率分别为，.求证：为定值.
25. （本题满分18分）已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，写出函数的单调区间；（直接写出答案，不必写出证明过程）
（Ⅱ）当时，求函数的零点；
（Ⅲ）当时，求函数在上的最小值.
参考答案
一、 选择题: 本大题共18小题，每小题4分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | ||||||||||
题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
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答案 |
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二、填空题：本大题共4小题，每空5分，共25分。
19．_________，_________ 20．_________ 21．___相切______
22．__或_______
三、解答题：本大题共3小题，共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（本题满分18分）解：（Ⅰ）由题意得
；
（Ⅱ）因为
，所以函数的最小正周期为；
（Ⅲ）当时，，所以，则
，故在上的取值范围是.
24. （本题满分17分）解：（Ⅰ）由题意可得，准线方程.
（Ⅱ）设，（且，
的直线方程为（是实数）
联立方程，得，由韦达定理得：，.
，直线方程为
令，得，同理
25. （本题满分18分）解：（Ⅰ）当时，，易知函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅱ）当时，，
（ⅰ）当时，令，即，此方程，无实数解.
（ⅱ）当时，令，即，解得；
由（ⅰ）（ⅱ），得的零点为，.
（Ⅲ）
①当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取到最小值，且.
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数取到最小值，且.
综上所述，.
