浙江省金华市东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com东阳中学2020年上学期期中考试卷

（高二数学）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A∩B的元素个数是（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】C

【解析】

试题分析：求出A与B的交集，找出交集元素的个数即可．

解：∵A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，

∴A∩B={2，4}，

则A∩B的元素个数是2个．

故选C．

考点：交集及其运算．

2.直线x+2y+3=0的斜率是（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

将直线的一般式方程整理为直线的斜截式方程,即可求出直线的斜率

【详解】解：由题可得,,则直线斜率为

故选A

【点睛】本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化,考查直线的斜率,是基础题

3.“且”是“直线过点”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

充分性：验证在直线上，充分性成立；必要性：点代入不一定得到且，必要性不成立.

【详解】充分性：且则，验证在直线上，充分性成立；

必要性：点代入得不一定得到且，必要性不成立.

故选：A

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据进行判断．

(2)集合法：根据成立对应的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

4.函数的最小正周期是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数的周期公式得到结果.

【详解】根据三角函数的周期公式的求法，得到：函数，∵ω=2，∴T=π．

故选B．

【点睛】这个题目考查了三角函数的周期公式的应用，题目比较简单.存在周期性，其最小正周期为T=.

5.已知，，且，则实数的值为（    ）

A.  B. 2 C. 8 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用向量的平行的坐标运算，求出的值即可.

【详解】解：已知，，且，

则，所以.
故选：B.

【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，考查计算能力.

6.已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

因为等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为公比为9，首项为6，那么利用前n项和公式可知为，选D

7.中，角所对的边分别为，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理得到，结合两角和的正弦公式即可得到答案.

【详解】，则，

即，

因为，所以，所以，

故选：C.

【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

8.设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据椭圆焦点在轴上且长轴长为26，得到，再由椭圆的离心率为，得到，再根据曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，得到双曲线与椭圆共焦点以及实半轴长求解.

【详解】因为椭圆焦点在轴上且长轴长为26，

所以，又因为椭圆离心率为，

所以，

因为曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，

所以，

所以曲线的标准方程为.

故选：A

【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】因为解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，

当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）

过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A（4，6）时，

目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即，，

所以，当且仅当时等号成立.

故选：A.

10.定义域为的偶函数满足对任意的实数，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据题意得到函数为上的偶函数，且周期为，令，画出，在区间的图象，将函数在上至少有三个零点，转化为函数与在上至少有三个交点，列出不等式组，从而得到的取值范围.

【详解】由题知：，令，.

因为为偶函数，所以，即.

所以，即的周期为.

又因为，所以函数的图象关于对称.

设，当时，，

画出，在区间的图象，如图所示：

因为函数在上至少有三个零点，

所以函数与在上至少有三个交点.

所以，解得

故选：B

【点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据题意画出函数的图象为解题的关键，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.

11.已知，则________，__________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

利用二倍角公式和诱导公式计算即可.

【详解】，.

故答案为：；

【点睛】本题主要考查二倍角公式和诱导公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

12.若函数是偶函数，则_____，值域为________．

【答案】    (1). 2    (2).

【解析】

【分析】

首先根据为偶函数，利用即可算出的值，再利用，即可得到函数的值域.

【详解】，定义域为.

.

因为为偶函数，所以.

所以，即.

，因为，所以.

即值域为.

故答案为：；

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了二次函数的值域问题，属于简单题.

13.在等差数列中，若，则_______，________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

首先根据，即可得到的值，再根据，利用诱导公式即可得到的值.

【详解】因为，所以，.

因为，

所以.

故答案为：；

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题.

14.一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为__________该该几何体的体积为___________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

首先将三视图还原几何体得到直观图为正四棱锥，再根据三视图的长度计算表面积和体积即可.

【详解】由题知：该几何体为正四棱锥，为底面的中心，直观图如图所示：

因为，，

所以该几何体的表面积，

所以该几何体的体积

故答案为：；

【点睛】本题主要考查三视图的还原，同时考查了四棱锥的体积和表面积，属于简单题.

15.过点的直线与抛物线交于两点，且则此直线的方程为_________.

【答案】8x-y-15=0

【解析】

【分析】

为中点，设，，相减得到，故，计算得到答案.

【详解】，故为中点，设，，

则，，相减得到，

故，，故直线方程为：，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查了点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.

16.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是______ .

【答案】

【解析】

【分析】

先求得导函数，根据导函数与函数单调性关系，结合所给区间，即可求得的取值范围.

【详解】函数，

则，

函数在区间内是增函数，

所以在区间内恒成立，

即在区间内恒成立，

所以在区间内恒成立，

所以，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查了导函数与函数单调性关系，根据函数单调区间求参数的取值范围，属于基础题.

17.若对任意且，不等式恒成立， 则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

等价变形分离变量，再利用换元法及已知范围求解.

【详解】,

设 ，

且，

故答案为：

【点睛】解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.已知向量，且分别是锐角三角形三边所对的角.

（1）求的大小； 

（2）若成等比数列，且，求的值.

【答案】（1）（2）6

【解析】

【分析】

（1）根据向量数量积得到，计算得到答案.

（2）根据题意，，计算得到答案.

【详解】（1） ，即，所以，

又因为是锐角三角形内角，所以.

（2）因为，又，所以，即，即，

所以.

【点睛】本题考查了向量的数量积，等比数列的性质，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19.设数列是公差大于零的等差数列，已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是以为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用等差数列公式计算得到答案.

（2），利用分组求和法计算得到答案.

【详解】（1），，故，解得或（舍去）.

故.

（2），则，

故

.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

20.在四棱锥中，平面，，，.

（1）证明：平面；

（2）若二面角的大小为，求的值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）要证平面，从而通过证明，即可（2）作于点，连接．由（1）知平面，故．所以平面，从而得，．故是二面角的平面角，由在中，得出等式解方程即可

试题解析：

（1）证明：设为与的交点，作于点．

由四边形是等腰梯形得，，

所以，从而得，所以，即．

由平面得，因为，所以平面．

  （2）解：作于点，连接．

由（1）知平面，故．

所以平面，从而得，．

故是二面角的平面角，所以．

在中，由，得．在中，．

设，可得．解得，即

．

21.已知椭圆离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点直线与椭圆相交另一点，若，求直线的倾斜角.

【答案】（1）；（2） 或

【解析】

【分析】

（1）根据离心率，和菱形的面积为4，即求解。

（2）由（1）可知点A的坐标是（-2，0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.与椭圆方程联立消去y并整理，得.再利用两点间的距离公式，通过求解。

【详解】（1）由，得.

因为，所以.

由题意可知，

即.

所以.

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）可知点A的坐标是（-2，0）

.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.

则直线l的方程为y=k（x+2）.

直线l的方程与椭圆方程联立消去y并整理，

得.

由，得.从而.

所以.

由，得.

整理得，

即，解得k=.适合

所以直线l的倾斜角为或.

【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题。

22.设函数．

（1）求函数的最小值；

（2）设，讨论函数的单调性；

（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，

求证：

【答案】（1）；（2）当时，在上增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）对函数求导，求其单调区间，即可求出极值，可得最小值；（2）分别讨论和时函数的单调性；（3）将直线斜率用表示出来，将要证的不等式转化为证（），最后讨论函数（）和（）单调性，即可证明原题.

【详解】（1），令，得

因为当时；当时，

所以当时，

（2），

①当时，恒有，在上是增函数；

② 当时，

令，得，解得；

令，得，解得，

综上，当时，在上是增函数；

当时，在上单调递增，在上单调递减

 (3) ．

要证，即证，等价于证，令，

则只要证，由知，故等价于证 (*)．

① 设，则，故在上是增函数，

∴ 当时，，即．

② 设，则，故在上是增函数，

∴ 当时，，即．

由①②知(*)成立，得证．

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.